1. الدرس 1-1: الأس والأساس وضرب القوى وقسمتهاشرح
2. الدرس 1-1 (تابع): قوة القوة وقوة الضرب وقوة القسمةشرح
3. الدرس 1-2: المعادلات الأسيةشرحالرياضيات — الصف الثالث الإعدادي — الفصل الدراسي الأول (دروس الوحدة: 1-1 قوى القوى، 1-2 المعادلات الأسية)
🌳 شجرة المفاهيم
01 الدرس 1-1: الأس والأساس وضرب القوى وقسمتها
1-1-1 معنى الأس والأساس وضرب قوتين متحدتي الأساس
القوة هي اختصار لضرب عدد في نفسه عدة مرات: في aⁿ يسمى a الأساس ويسمى n الأس.
- الأساس هو العدد الذي يتكرر في الضرب.
- الأس يخبرنا كم مرة يتكرر الأساس.
- عند ضرب قوتين لهما الأساس نفسه نبقي الأساس ونجمع الأسين.
aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
لاحظ: 5⁴ تعني 5 × 5 × 5 × 5 ولا تعني 5 × 4.
علّل: \[\begin{gathered}a^{3} \times a^{2} = a^{5}\end{gathered}\] لأن عدد عوامل a في الناتج هو 3 + 2 = 5.
مثال 1: بسّط x⁴ × x⁷.
الحل:
الأساس واحد وهو x.
نجمع الأسين: 4 + 7 = 11
\[\begin{gathered}x^{4} \times x^{7} = x^{11}\end{gathered}\]
مثال 2: أوجد قيمة 2³ × 2⁴.
الحل:
الأساس واحد وهو 2.
\[\begin{gathered}2^{3} \times 2^{4} = 2^{7}\end{gathered}\]
2⁷ = 128
مثال 3: بسّط 3a² × 4a⁵.
الحل:
نضرب المعاملين: 3 × 4 = 12
نجمع أسي a: 2 + 5 = 7
الناتج: 12a⁷
مثال 4: بسّط (−2x³)(5x⁴).
الحل:
نضرب المعاملين: \[\begin{gathered}(-2) \times 5 = -10\end{gathered}\]
نجمع الأسين: 3 + 4 = 7
الناتج: −10x⁷
تذكر: الأخطاء الشائعة:
- جمع الأساسين بدل الأسين (2³ × 2⁴ لا تساوي 4⁷).
- تطبيق القانون على أساسين مختلفين مثل 2³ × 3².
- جمع المعاملين العدديين بدل ضربهما.
1-1-2 قسمة قوتين متحدتي الأساس
عند قسمة قوتين لهما الأساس نفسه (a ≠ 0) نبقي الأساس ونطرح الأسين.
aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
- نطرح أس المقسوم عليه من أس المقسوم.
- إذا كانت المعاملات أعدادًا فنقسمها كالمعتاد.
لاحظ: القسمة على الصفر غير معرفة، لذلك نشترط a ≠ 0.
مثال 1: أوجد قيمة 2⁹ ÷ 2⁵.
الحل:
نطرح الأسين: 9 − 5 = 4
\[\begin{gathered}2^{9} \div 2^{5} = 2^{4}\end{gathered}\]
2⁴ = 16
مثال 2: بسّط 15x⁸ ÷ 5x³.
الحل:
نقسم المعاملين: 15 ÷ 5 = 3
نطرح الأسين: 8 − 3 = 5
الناتج: 3x⁵
مثال 3: بسّط a⁷b⁴ ÷ a²b.
الحل:
أسس a: 7 − 2 = 5
أسس b: 4 − 1 = 3
الناتج: a⁵b³
مثال 4: أوجد قيمة 10⁶ ÷ 10².
الحل:
6 − 2 = 4
\[\begin{gathered}10^{6} \div 10^{2} = 10^{4} = 10000\end{gathered}\]
تذكر: الأخطاء الشائعة:
- طرح الأسين بترتيب معكوس.
- قسمة الأسين بدل طرحهما.
- نسيان أن b تساوي b¹ عند الطرح.
1-1-3 الأس الصفري
أي عدد غير الصفر مرفوعًا للأس صفر يساوي 1.
\[\begin{gathered}a^{0} = 1 (a \neq 0)\end{gathered}\]
- ينتج من قسمة قوة على نفسها: \[\begin{gathered}a^{n} \div a^{n} = a^{n-n} = a^{0}\end{gathered}\].
- وكل عدد غير صفري مقسوم على نفسه يساوي 1.
علّل: a⁰ = 1 لأن aⁿ ÷ aⁿ = 1 وبالطرح a⁰.
مثال 1: أوجد قيمة 7⁰ + (−5)⁰.
الحل:
7⁰ = 1
(−5)⁰ = 1
المجموع = 1 + 1 = 2
مثال 2: أوجد قيمة 2x⁰ حيث x ≠ 0.
الحل:
الأس صفر يخص x فقط.
x⁰ = 1
\[\begin{gathered}2x^{0} = 2 \times 1 = 2\end{gathered}\]
مثال 3: أوجد قيمة (2x)⁰ حيث x ≠ 0.
الحل:
الأس يخص القوس كله.
(2x)⁰ = 1
مثال 4: بسّط (a²b)⁰ + 3⁰.
الحل:
(a²b)⁰ = 1
3⁰ = 1
المجموع = 2
تذكر: الأخطاء الشائعة:
- الاعتقاد أن a⁰ = 0.
- كتابة (−2)⁰ = −1.
- تطبيق الأس الصفري على المعامل في 2x⁰.
1-1-4 الأس السالب
الأس السالب يدل على المقلوب: \[\begin{gathered}a^{-n} = 1 \div a^{n}\end{gathered}\] حيث a ≠ 0.
\[\begin{gathered}a^{-n} = 1 \div a^{n}\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}(a \div b)^{-n} = (b \div a)^{n}\end{gathered}\]
- الأس السالب لا يجعل العدد سالبًا.
- ننقل القوة من البسط إلى المقام (أو العكس) فتتغير إشارة أسها.
لاحظ: القوة x⁻² معرفة بشرط x ≠ 0.
مثال 1: أوجد قيمة 2⁻³ + 5⁰.
الحل:
\[\begin{gathered}2^{-3} = 1 \div 2^{3} = \dfrac{1}{8}\end{gathered}\]
5⁰ = 1
المجموع = \[\begin{gathered}\dfrac{1}{8} + 1 = \dfrac{9}{8}\end{gathered}\]
مثال 2: أوجد قيمة \(\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-2}\).
الحل:
نقلب الكسر ونغيّر إشارة الأس.
\[\begin{gathered}\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-2} = \left(\dfrac{3}{2}\right)^{2}\end{gathered}\]
= \(\dfrac{9}{4}\)
مثال 3: اكتب x⁻⁴y² بأسس موجبة.
الحل:
\[\begin{gathered}x^{-4} = 1 \div x^{4}\end{gathered}\]
الناتج: y² ÷ x⁴
مثال 4: أوجد قيمة 5⁻¹ + 2⁻¹.
الحل:
\(5^{-1} = \dfrac{1}{5}\)
\(2^{-1} = \dfrac{1}{2}\)
المجموع = \[\begin{gathered}\dfrac{2}{10} + \dfrac{5}{10} = \dfrac{7}{10}\end{gathered}\]
تذكر: الأخطاء الشائعة:
- كتابة 2⁻³ = −8 أو −6.
- نقل الرمز دون تغيير إشارة الأس.
- في (3x)⁻² يشمل الأس 3 أيضًا: الناتج 1 ÷ 9x².
02 الدرس 1-1 (تابع): قوة القوة وقوة الضرب وقوة القسمة
1-1-5 قانون قوة القوة
عند رفع قوة إلى أس آخر نبقي الأساس ونضرب الأسين.
(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
- قوة القوة هي قوة أساسها قوة أخرى مثل (a³)².
- \[\begin{gathered}(a^{3})^{2} = a^{3} \times a^{3} = a^{6}\end{gathered}\] لأن 3 × 2 = 6.
لاحظ: الضرب يجمع الأسس \[\begin{gathered}(x^{2} \times x^{3} = x^{5})\end{gathered}\]، أما قوة القوة فتضربها ((x²)³ = x⁶).
مثال 1: اختصر (x³)⁴.
الحل:
نضرب الأسين: 3 × 4 = 12
الناتج: x¹²
مثال 2: أوجد قيمة (2²)³ × 2⁴.
الحل:
(2²)³ = 2⁶
\[\begin{gathered}2^{6} \times 2^{4} = 2^{10}\end{gathered}\]
2¹⁰ = 1024
مثال 3: اختصر (a⁻²)³ ÷ a⁻⁹.
الحل:
\[\begin{gathered}(a^{-2})^{3} = a^{-6}\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}a^{-6} \div a^{-9} = a^{-6+9}\end{gathered}\]
الناتج: a³
مثال 4: اختصر (3⁴)² ÷ 3⁵.
الحل:
(3⁴)² = 3⁸
\[\begin{gathered}3^{8} \div 3^{5} = 3^{3}\end{gathered}\]
3³ = 27
تذكر: الأخطاء الشائعة:
- كتابة (x²)³ = x⁵ بالجمع.
- كتابة (x²)³ = x⁸ برفع 2 إلى القوة 3.
- إهمال إشارة الأس السالب عند الضرب.
1-1-6 قوة حاصل الضرب
عند رفع حاصل ضرب إلى أس يُرفع كل عامل إلى هذا الأس.
\[\begin{gathered}(\,\text{ab})^{n} = a^{n} b^{n}\end{gathered}\]
- يشمل ذلك المعامل العددي: (2x)³ = 8x³.
- نطبق قوة القوة على كل رمز: \[\begin{gathered}(x^{2}y)^{3} = x^{6}y^{3}\end{gathered}\].
علّل: \[\begin{gathered}(\,\text{ab})^{3} = (\,\text{ab})(\,\text{ab})(\,\text{ab}) = a^{3}b^{3}\end{gathered}\] لأن الضرب إبدالي.
مثال 1: اختصر (3a²b)⁴.
الحل:
3⁴ = 81
(a²)⁴ = a⁸
b⁴ تبقى كما هي.
الناتج: 81a⁸b⁴
مثال 2: اختصر (−2x²)³.
الحل:
(−2)³ = −8
(x²)³ = x⁶
الناتج: −8x⁶
مثال 3: اختصر (2x³y)² × (xy)³.
الحل:
\[\begin{gathered}(2x^{3}y)^{2} = 4x^{6}y^{2}\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}(\,\text{xy})^{3} = x^{3}y^{3}\end{gathered}\]
نجمع الأسس: x⁶⁺³ = x⁹ و y²⁺³ = y⁵
الناتج: 4x⁹y⁵
تذكر: الأخطاء الشائعة:
- رفع أحد العوامل فقط: (2x)³ = 2x³.
- توزيع الأس على الجمع: (a + b)² لا تساوي a² + b².
1-1-7 قوة خارج القسمة
عند رفع خارج قسمة إلى أس يُرفع البسط والمقام معًا إلى هذا الأس.
\[\begin{gathered}(a \div b)^{n} = a^{n} \div b^{n} (b \neq 0)\end{gathered}\]
- نوزع الأس على كل عامل في البسط والمقام.
- مع الأس السالب نقلب الكسر أولًا.
لاحظ: \[\begin{gathered}(a \div b)^{-n} = (b \div a)^{n}\end{gathered}\].
مثال 1: أوجد قيمة \(\left(\dfrac{3}{4}\right)^{2}\).
الحل:
3² = 9
4² = 16
الناتج: \(\dfrac{9}{16}\)
مثال 2: اختصر (2x ÷ y²)³.
الحل:
البسط: (2x)³ = 8x³
المقام: (y²)³ = y⁶
الناتج: 8x³ ÷ y⁶
مثال 3: اختصر (a² ÷ b)⁻².
الحل:
نقلب الكسر: (b ÷ a²)²
= b² ÷ a⁴
مثال 4: أوجد قيمة \(\left(\dfrac{2}{5}\right)^{-3}\).
الحل:
\[\begin{gathered}\left(\dfrac{2}{5}\right)^{-3} = \left(\dfrac{5}{2}\right)^{3}\end{gathered}\]
= \(\dfrac{125}{8}\)
تذكر: الأخطاء الشائعة:
- رفع البسط فقط للأس.
- نسيان قلب الكسر عند الأس السالب.
- القسمة على صفر عند b = 0.
1-1-8 إشارة القوة: الأس الزوجي والأس الفردي
(−a)ⁿ موجبة إذا كان n زوجيًا وسالبة إذا كان n فرديًا.
(−a)ⁿ = aⁿ عندما n زوجي
(−a)ⁿ = −aⁿ عندما n فردي
- حاصل ضرب عدد زوجي من العوامل السالبة موجب.
- حاصل ضرب عدد فردي منها سالب.
لاحظ: (−3)² = 9 بينما −3² = −9 لأن الإشارة في الثانية خارج القوة.
مثال 1: أوجد قيمة (−2)⁵.
الحل:
الأس فردي فالناتج سالب.
2⁵ = 32
(−2)⁵ = −32
مثال 2: أوجد قيمة (−1)¹⁰¹ + (−1)¹⁰⁰.
الحل:
\[\begin{gathered}(-1)^{101} = -1\end{gathered}\]
(−1)¹⁰⁰ = 1
المجموع = 0
مثال 3: اختصر (−2x)³.
الحل:
(−2)³ = −8
الناتج: −8x³
تذكر: الأخطاء الشائعة:
- الخلط بين (−3)² و −3².
- إهمال الإشارة عند الأس الفردي.
1-1-9 القوى والجذور التربيعية
الجذر التربيعي √a عدد مربعه a، ولذلك (√a)² = a لكل a ≥ 0.
(√a)² = a
(√a)⁴ = a²
(√a)⁶ = a³
- نستخدم قوة القوة: \[\begin{gathered}(\sqrt{a})^{4} = ((\sqrt{a})^{2})^{2}\end{gathered}\].
- الأسس الفردية تبقي جزءًا من الجذر: (√a)³ = a√a.
لاحظ: √5 × √5 = 5 وليس 10.
مثال 1: أوجد قيمة (√5)⁴.
الحل:
\[\begin{gathered}(\sqrt{5})^{4} = ((\sqrt{5})^{2})^{2}\end{gathered}\]
= 5²
= 25
مثال 2: أوجد قيمة (√2)⁶.
الحل:
\[\begin{gathered}(\sqrt{2})^{6} = ((\sqrt{2})^{2})^{3}\end{gathered}\]
= 2³
= 8
مثال 3: اختصر (√3)³.
الحل:
\[\begin{gathered}(\sqrt{3})^{3} = (\sqrt{3})^{2} \times \sqrt{3}\end{gathered}\]
= 3√3
مثال 4: أوجد قيمة (√5)⁶ × (√5)².
الحل:
(√5)⁶ = 125
(√5)² = 5
الناتج: 625
تذكر: الأخطاء الشائعة:
- كتابة (√5)² = 25.
- الخلط بين √5 × √5 والجمع.
1-1-10 تبسيط تعبيرات تجمع أكثر من قانون
نطبق القوانين بالترتيب: الأقواس أولًا، ثم الضرب والقسمة على الرموز المتشابهة، ثم نكتب الناتج بأسس موجبة.
- نزيل الأقواس بقانون قوة القوة وقوة الضرب.
- نضرب المعاملات ونقسمها.
- نجمع أسس الضرب ونطرح أسس القسمة لكل رمز.
- نذكر الشرط (x ≠ 0 ...) إذا ظهر رمز في المقام.
تذكر: عند توحيد الأساس نكتب 9 = 3² و 27 = 3³ و 4 = 2² و 8 = 2³.
مثال 1: اختصر (2x²y)³ ÷ (4xy²).
الحل:
البسط: 8x⁶y³
نقسم المعاملين: 8 ÷ 4 = 2
x⁶ ÷ x = x⁵
y³ ÷ y² = y
الناتج: 2x⁵y (x ≠ 0 ، y ≠ 0)
مثال 2: اختصر (a³b)² × (ab²)³.
الحل:
\[\begin{gathered}(a^{3}b)^{2} = a^{6}b^{2}\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}(\,\text{ab}^{2})^{3} = a^{3}b^{6}\end{gathered}\]
الناتج: a⁹b⁸
مثال 3: اختصر ثم احسب عند x = 2 ، y = 1: (x⁴y)² ÷ (x²y)³.
الحل:
البسط: x⁸y²
المقام: x⁶y³
الناتج: x² ÷ y
عند x = 2 ، y = 1: 4 ÷ 1 = 4
مثال 4: اختصر 9ⁿ × 3²ⁿ⁻¹ ÷ 27ⁿ.
الحل:
9ⁿ = 3²ⁿ
27ⁿ = 3³ⁿ
البسط: \[\begin{gathered}3^{2n} \times 3^{2n-1} = 3^{4n-1}\end{gathered}\]
القسمة: \[\begin{gathered}3^{4n-1} \div 3^{3n} = 3^{n-1}\end{gathered}\]
الناتج: 3ⁿ⁻¹
تذكر: الأخطاء الشائعة:
- نسيان توزيع الأس على المعامل.
- طرح الأسس بالترتيب المعكوس.
- ترك الناتج بأسس سالبة دون كتابتها بأسس موجبة.
03 الدرس 1-2: المعادلات الأسية
1-2-1 المعادلة الأسية وتوحيد الأساس
المعادلة الأسية معادلة يكون المجهول فيها في الأس؛ وإذا تساوت قوتان متحدتا الأساس تساوى أسيهما.
aˣ = aʸ ⟹ x = y (a > 0 ، a ≠ 1)
خطوات الحل:
- نكتب الطرفين بأساس واحد (بتحليل العدد إلى عوامله الأولية).
- نساوي الأسين.
- نحل المعادلة الناتجة.
- نتحقق بالتعويض.
قوى شائعة نحفظها:
2 : 2 ، 4 ، 8 ، 16 ، 32 ، 64 ، 128 ، 256
3 : 3 ، 9 ، 27 ، 81 ، 243
5 : 5 ، 25 ، 125 ، 625
علّل: نشترط a ≠ 1 لأن 1ˣ = 1ʸ = 1 لأي قيمتين x و y، فلا تتساوى الأسس بالضرورة.
مثال 1: حل 2ˣ = 32.
الحل:
32 = 2⁵
2ˣ = 2⁵
x = 5
التحقق: 2⁵ = 32 ✓
مثال 2: حل 3ˣ⁺¹ = 81.
الحل:
81 = 3⁴
x + 1 = 4
x = 3
التحقق: 3⁴ = 81 ✓
مثال 3: حل 4ˣ = 8.
الحل:
4 = 2² و 8 = 2³
(2²)ˣ = 2³
2²ˣ = 2³
2x = 3
\(x = \dfrac{3}{2}\)
مثال 4: حل 7ˣ⁻² = 49.
الحل:
49 = 7²
x − 2 = 2
x = 4
تذكر: الأخطاء الشائعة:
- مساواة الأساسين قبل توحيدهما.
- نسيان ضرب الأس: (2²)ˣ = 2²ˣ.
- نسيان التحقق بالتعويض.
1-2-2 معادلات فيها أسس سالبة وكسور
نكتب \(\dfrac{1}{a^{n}}\) على الصورة a⁻ⁿ، ونكتب 1 على الصورة a⁰، فتتحول المعادلة إلى مساواة أسس.
\[\begin{gathered}1 \div a^{n} = a^{-n}\end{gathered}\]
aˣ = \[\begin{gathered}1 \\[4pt] \therefore\; x = 0\end{gathered}\]
- الكسر \(\left(\dfrac{1}{2}\right)\)ˣ يساوي 2⁻ˣ.
- العدد العشري 0.001 يساوي 10⁻³.
لاحظ: الأساس الكسري \(\dfrac{1}{a}\) يُكتب a⁻¹.
مثال 1: حل 2ˣ = \(\dfrac{1}{8}\).
الحل:
\(\dfrac{1}{8} = 2^{-3}\)
x = −3
التحقق: \(2^{-3} = \dfrac{1}{8}\) ✓
مثال 2: حل 5²ˣ⁻¹ = 1.
الحل:
1 = 5⁰
2x − 1 = 0
\(x = \dfrac{1}{2}\)
مثال 3: حل \(\left(\dfrac{1}{2}\right)\)ˣ = 16.
الحل:
\(\left(\dfrac{1}{2}\right)\)ˣ = 2⁻ˣ
16 = 2⁴
−x = 4
x = −4
مثال 4: حل 10ˣ = 0.001.
الحل:
\[\begin{gathered}0.001 = \dfrac{1}{1000} = 10^{-3}\end{gathered}\]
x = −3
تذكر: الأخطاء الشائعة:
- كتابة \(\dfrac{1}{8} = 2^{3}\).
- الخلط بين \(\left(\dfrac{1}{2}\right)\)ˣ و 2ˣ.
- كتابة 5⁰ = 0.
1-2-3 معادلات تحتاج إلى عامل مشترك
عند وجود جمع أو طرح لقوى متحدة الأساس نكتب كل قوة بدلالة أصغر قوة ونأخذها عاملًا مشتركًا.
aˣ⁺ⁿ = aˣ × aⁿ
- نحول 2ˣ⁺¹ إلى 2ˣ × 2.
- نأخذ 2ˣ عاملًا مشتركًا.
- ثم نحل المعادلة الأسية البسيطة.
تذكر: الجمع لا يجمع الأسس: 2ˣ + 2ˣ⁺¹ ليست 2²ˣ⁺¹.
مثال 1: حل 2ˣ + 2ˣ⁺¹ = 24.
الحل:
2ˣ + 2ˣ × 2 = 24
2ˣ\[\begin{gathered}(1 + 2) = 24\end{gathered}\]
3 × 2ˣ = 24
2ˣ = 8 = 2³
x = 3
التحقق: 8 + 16 = 24 ✓
مثال 2: حل 3ˣ⁺² − 3ˣ = 72.
الحل:
3ˣ × 9 − 3ˣ = 72
3ˣ\[\begin{gathered}(9 - 1) = 72\end{gathered}\]
8 × 3ˣ = 72
3ˣ = 9 = 3²
x = 2
مثال 3: حل 5ˣ⁺¹ + 5ˣ = 150.
الحل:
5ˣ × 5 + 5ˣ = 150
6 × 5ˣ = 150
5ˣ = 25 = 5²
x = 2
مثال 4: حل 2ˣ⁺² + 2ˣ = 20.
الحل:
4 × 2ˣ + 2ˣ = 20
5 × 2ˣ = 20
2ˣ = 4
x = 2
تذكر: الأخطاء الشائعة:
- نسيان أن الحد المأخوذ عاملًا يترك 1.
- جمع الأسس عند الجمع.
1-2-4 معادلات المجهول فيها هو الأساس
في xⁿ = c نكتب c على صورة قوة بالأس نفسه n.
xⁿ = aⁿ
- إذا كان n فرديًا فإن x = a فقط.
- إذا كان n زوجيًا فإن x = a أو x = −a.
لاحظ: المعادلة x² = −9 ليس لها حل في ℝ لأن المربع لا يكون سالبًا.
مثال 1: حل x³ = 125.
الحل:
125 = 5³
x = 5
مجموعة الحل: {5}
مثال 2: حل x⁴ = 81.
الحل:
81 = 3⁴
الأس زوجي.
x = 3 أو x = −3
مجموعة الحل: {3 ، −3}
مثال 3: حل \[\begin{gathered}(x - 1)^{2} = 49\end{gathered}\].
الحل:
x − 1 = 7 أو x − 1 = −7
x = 8 أو x = −6
مثال 4: حل \[\begin{gathered}(x + 2)^{3} = -27\end{gathered}\].
الحل:
−27 = (−3)³
x + 2 = −3
x = −5
تذكر: الأخطاء الشائعة:
- نسيان الجذر السالب عند الأس الزوجي.
- إهمال إشارة الجذر عند الأس الفردي.
1-2-5 معادلات أساساتها مختلفة
نحلل كل أساس إلى قوة لعدد أولي مشترك ثم نساوي الأسس.
(aᵐ)ˣ = aᵐˣ
- 4 و 8 و 16 قوى للعدد 2.
- 9 و 27 و 81 قوى للعدد 3.
- بعد التوحيد نساوي الأسين ونحل.
تذكر: الأخطاء الشائعة: ضرب الأس في الأساس بدل الأس.
مثال 1: حل 4ˣ = 2ˣ⁺³.
الحل:
4ˣ = 2²ˣ
2x = x + 3
x = 3
التحقق: 4³ = 64 و 2⁶ = 64 ✓
مثال 2: حل 8ˣ = 4ˣ⁺¹.
الحل:
8ˣ = 2³ˣ و 4ˣ⁺¹ = 2²ˣ⁺²
3x = 2x + 2
x = 2
مثال 3: حل \(\left(\dfrac{1}{4}\right)\)ˣ = 8.
الحل:
\(\left(\dfrac{1}{4}\right)\)ˣ = 2⁻²ˣ
8 = 2³
−2x = 3
\(x = -\dfrac{3}{2}\)
مثال 4: حل 25ˣ = 5ˣ⁺³.
الحل:
25ˣ = 5²ˣ
2x = x + 3
x = 3
1-2-6 تطبيقات حياتية على المعادلات الأسية
كثير من المسائل يتضاعف فيها المقدار كل فترة ثابتة: الكمية النهائية = الكمية الابتدائية × (معامل التضاعف)ⁿ.
N = N₀ × rⁿ
- N₀ الكمية الابتدائية.
- r معامل التغير في الفترة الواحدة.
- n عدد الفترات = الزمن الكلي ÷ طول الفترة.
لاحظ: إذا كانت القيمة تنقص إلى النصف كل فترة فإن \(r = \dfrac{1}{2}\).
مثال 1: بكتيريا تنقسم كل 20 دقيقة. بدأنا بخلية واحدة. بعد كم دقيقة يصبح العدد 256؟
الحل:
\[\begin{gathered}2^{n} = 256 = 2^{8}\end{gathered}\]
n = 8
الزمن = \[\begin{gathered}8 \times 20 = 160\end{gathered}\] دقيقة
مثال 2: مبلغ 500 جنيه يتضاعف كل سنة. متى يصبح 4000 جنيه؟
الحل:
\[\begin{gathered}500 \times 2^{n} = 4000\end{gathered}\]
2ⁿ = 8
n = 3 سنوات
مثال 3: تنقص قيمة جهاز إلى النصف كل 3 سنوات وقيمته الآن 8000 جنيه. ما قيمته بعد 9 سنوات؟
الحل:
عدد الفترات = 9 ÷ 3 = 3
القيمة = \(8000 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{3}\)
= 8000 ÷ 8
= 1000 جنيه
مثال 4: مكعب طول حرفه 2x سم. أوجد حجمه عند x = 3.
الحل:
الحجم = (2x)³ = 8x³
عند x = 3: \[\begin{gathered}8 \times 27 = 216\end{gathered}\] سم³
تذكر: الأخطاء الشائعة:
- نسيان قسمة الزمن على طول الفترة.
- كتابة الحجم بالأس 2.
- نسيان الوحدة.
1-2-7 معادلات تجمع أكثر من فكرة
نبدأ بتوحيد الأساس ثم نبسط الطرفين بقوانين الأسس ثم نساوي الأسس.
- نكتب كل عدد بأساسه الأولي.
- نجمع الأسس في الضرب ونطرحها في القسمة.
- نساوي الأسس ونحل.
لاحظ: تحقق من الحل بالتعويض في المعادلة الأصلية دائمًا.
مثال 1: حل 2ˣ⁺³ ÷ 4ˣ = 32.
الحل:
4ˣ = 2²ˣ
2ˣ⁺³⁻²ˣ = 2³⁻ˣ
32 = 2⁵
3 − x = 5
x = −2
التحقق: \[\begin{gathered}2^{1} \div 4^{-2} = 2 \times 16 = 32\end{gathered}\] ✓
مثال 2: حل 3²ˣ⁻¹ = 27ˣ⁻¹.
الحل:
27ˣ⁻¹ = 3³ˣ⁻³
\[\begin{gathered}2x - 1 = 3x - 3\end{gathered}\]
x = 2
التحقق: 3³ = 27 و 27¹ = 27 ✓
مثال 3: حل 5ˣ × 25 = 3125.
الحل:
25 = 5²
5ˣ\[\begin{gathered}^{+2} = 3125 = 5^{5}\end{gathered}\]
x + 2 = 5
x = 3
مثال 4: إذا كان 2ˣ = 5 فأوجد 2ˣ⁺² و 2²ˣ.
الحل:
2ˣ⁺² = 2ˣ × \[\begin{gathered}2^{2} = 5 \times 4 = 20\end{gathered}\]
2²ˣ = (2ˣ)² = 25
تذكر: الأخطاء الشائعة:
- نسيان توحيد الأساس.
- أخطاء الجمع والطرح في الأسس.
- ترك الحل دون تحقق.
04 ملخص قوانين الوحدة
aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
\[\begin{gathered}(\,\text{ab})^{n} = a^{n}b^{n}\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}(a \div b)^{n} = a^{n} \div b^{n}\end{gathered}\]
a⁰ = 1
\[\begin{gathered}a^{-n} = 1 \div a^{n}\end{gathered}\]
aˣ = aʸ ⟹ x = y (a > 0 ، a ≠ 1)