02 الدرس 1-1 (تابع): قوة القوة وقوة الضرب وقوة القسمة
1-1-5 قانون قوة القوة
عند رفع قوة إلى أس آخر نبقي الأساس ونضرب الأسين.
(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
- قوة القوة هي قوة أساسها قوة أخرى مثل (a³)².
- \[\begin{gathered}(a^{3})^{2} = a^{3} \times a^{3} = a^{6}\end{gathered}\] لأن 3 × 2 = 6.
لاحظ: الضرب يجمع الأسس \[\begin{gathered}(x^{2} \times x^{3} = x^{5})\end{gathered}\]، أما قوة القوة فتضربها ((x²)³ = x⁶).
مثال 1: اختصر (x³)⁴.
الحل:
نضرب الأسين: 3 × 4 = 12
الناتج: x¹²
مثال 2: أوجد قيمة (2²)³ × 2⁴.
الحل:
(2²)³ = 2⁶
\[\begin{gathered}2^{6} \times 2^{4} = 2^{10}\end{gathered}\]
2¹⁰ = 1024
مثال 3: اختصر (a⁻²)³ ÷ a⁻⁹.
الحل:
\[\begin{gathered}(a^{-2})^{3} = a^{-6}\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}a^{-6} \div a^{-9} = a^{-6+9}\end{gathered}\]
الناتج: a³
مثال 4: اختصر (3⁴)² ÷ 3⁵.
الحل:
(3⁴)² = 3⁸
\[\begin{gathered}3^{8} \div 3^{5} = 3^{3}\end{gathered}\]
3³ = 27
تذكر: الأخطاء الشائعة:
- كتابة (x²)³ = x⁵ بالجمع.
- كتابة (x²)³ = x⁸ برفع 2 إلى القوة 3.
- إهمال إشارة الأس السالب عند الضرب.
1-1-6 قوة حاصل الضرب
عند رفع حاصل ضرب إلى أس يُرفع كل عامل إلى هذا الأس.
\[\begin{gathered}(\,\text{ab})^{n} = a^{n} b^{n}\end{gathered}\]
- يشمل ذلك المعامل العددي: (2x)³ = 8x³.
- نطبق قوة القوة على كل رمز: \[\begin{gathered}(x^{2}y)^{3} = x^{6}y^{3}\end{gathered}\].
علّل: \[\begin{gathered}(\,\text{ab})^{3} = (\,\text{ab})(\,\text{ab})(\,\text{ab}) = a^{3}b^{3}\end{gathered}\] لأن الضرب إبدالي.
مثال 1: اختصر (3a²b)⁴.
الحل:
3⁴ = 81
(a²)⁴ = a⁸
b⁴ تبقى كما هي.
الناتج: 81a⁸b⁴
مثال 2: اختصر (−2x²)³.
الحل:
(−2)³ = −8
(x²)³ = x⁶
الناتج: −8x⁶
مثال 3: اختصر (2x³y)² × (xy)³.
الحل:
\[\begin{gathered}(2x^{3}y)^{2} = 4x^{6}y^{2}\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}(\,\text{xy})^{3} = x^{3}y^{3}\end{gathered}\]
نجمع الأسس: x⁶⁺³ = x⁹ و y²⁺³ = y⁵
الناتج: 4x⁹y⁵
تذكر: الأخطاء الشائعة:
- رفع أحد العوامل فقط: (2x)³ = 2x³.
- توزيع الأس على الجمع: (a + b)² لا تساوي a² + b².
1-1-7 قوة خارج القسمة
عند رفع خارج قسمة إلى أس يُرفع البسط والمقام معًا إلى هذا الأس.
\[\begin{gathered}(a \div b)^{n} = a^{n} \div b^{n} (b \neq 0)\end{gathered}\]
- نوزع الأس على كل عامل في البسط والمقام.
- مع الأس السالب نقلب الكسر أولًا.
لاحظ: \[\begin{gathered}(a \div b)^{-n} = (b \div a)^{n}\end{gathered}\].
مثال 1: أوجد قيمة \(\left(\dfrac{3}{4}\right)^{2}\).
الحل:
3² = 9
4² = 16
الناتج: \(\dfrac{9}{16}\)
مثال 2: اختصر (2x ÷ y²)³.
الحل:
البسط: (2x)³ = 8x³
المقام: (y²)³ = y⁶
الناتج: 8x³ ÷ y⁶
مثال 3: اختصر (a² ÷ b)⁻².
الحل:
نقلب الكسر: (b ÷ a²)²
= b² ÷ a⁴
مثال 4: أوجد قيمة \(\left(\dfrac{2}{5}\right)^{-3}\).
الحل:
\[\begin{gathered}\left(\dfrac{2}{5}\right)^{-3} = \left(\dfrac{5}{2}\right)^{3}\end{gathered}\]
= \(\dfrac{125}{8}\)
تذكر: الأخطاء الشائعة:
- رفع البسط فقط للأس.
- نسيان قلب الكسر عند الأس السالب.
- القسمة على صفر عند b = 0.
1-1-8 إشارة القوة: الأس الزوجي والأس الفردي
(−a)ⁿ موجبة إذا كان n زوجيًا وسالبة إذا كان n فرديًا.
(−a)ⁿ = aⁿ عندما n زوجي
(−a)ⁿ = −aⁿ عندما n فردي
- حاصل ضرب عدد زوجي من العوامل السالبة موجب.
- حاصل ضرب عدد فردي منها سالب.
لاحظ: (−3)² = 9 بينما −3² = −9 لأن الإشارة في الثانية خارج القوة.
مثال 1: أوجد قيمة (−2)⁵.
الحل:
الأس فردي فالناتج سالب.
2⁵ = 32
(−2)⁵ = −32
مثال 2: أوجد قيمة (−1)¹⁰¹ + (−1)¹⁰⁰.
الحل:
\[\begin{gathered}(-1)^{101} = -1\end{gathered}\]
(−1)¹⁰⁰ = 1
المجموع = 0
مثال 3: اختصر (−2x)³.
الحل:
(−2)³ = −8
الناتج: −8x³
تذكر: الأخطاء الشائعة:
- الخلط بين (−3)² و −3².
- إهمال الإشارة عند الأس الفردي.
1-1-9 القوى والجذور التربيعية
الجذر التربيعي √a عدد مربعه a، ولذلك (√a)² = a لكل a ≥ 0.
(√a)² = a
(√a)⁴ = a²
(√a)⁶ = a³
- نستخدم قوة القوة: \[\begin{gathered}(\sqrt{a})^{4} = ((\sqrt{a})^{2})^{2}\end{gathered}\].
- الأسس الفردية تبقي جزءًا من الجذر: (√a)³ = a√a.
لاحظ: √5 × √5 = 5 وليس 10.
مثال 1: أوجد قيمة (√5)⁴.
الحل:
\[\begin{gathered}(\sqrt{5})^{4} = ((\sqrt{5})^{2})^{2}\end{gathered}\]
= 5²
= 25
مثال 2: أوجد قيمة (√2)⁶.
الحل:
\[\begin{gathered}(\sqrt{2})^{6} = ((\sqrt{2})^{2})^{3}\end{gathered}\]
= 2³
= 8
مثال 3: اختصر (√3)³.
الحل:
\[\begin{gathered}(\sqrt{3})^{3} = (\sqrt{3})^{2} \times \sqrt{3}\end{gathered}\]
= 3√3
مثال 4: أوجد قيمة (√5)⁶ × (√5)².
الحل:
(√5)⁶ = 125
(√5)² = 5
الناتج: 625
تذكر: الأخطاء الشائعة:
- كتابة (√5)² = 25.
- الخلط بين √5 × √5 والجمع.
1-1-10 تبسيط تعبيرات تجمع أكثر من قانون
نطبق القوانين بالترتيب: الأقواس أولًا، ثم الضرب والقسمة على الرموز المتشابهة، ثم نكتب الناتج بأسس موجبة.
- نزيل الأقواس بقانون قوة القوة وقوة الضرب.
- نضرب المعاملات ونقسمها.
- نجمع أسس الضرب ونطرح أسس القسمة لكل رمز.
- نذكر الشرط (x ≠ 0 ...) إذا ظهر رمز في المقام.
تذكر: عند توحيد الأساس نكتب 9 = 3² و 27 = 3³ و 4 = 2² و 8 = 2³.
مثال 1: اختصر (2x²y)³ ÷ (4xy²).
الحل:
البسط: 8x⁶y³
نقسم المعاملين: 8 ÷ 4 = 2
x⁶ ÷ x = x⁵
y³ ÷ y² = y
الناتج: 2x⁵y (x ≠ 0 ، y ≠ 0)
مثال 2: اختصر (a³b)² × (ab²)³.
الحل:
\[\begin{gathered}(a^{3}b)^{2} = a^{6}b^{2}\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}(\,\text{ab}^{2})^{3} = a^{3}b^{6}\end{gathered}\]
الناتج: a⁹b⁸
مثال 3: اختصر ثم احسب عند x = 2 ، y = 1: (x⁴y)² ÷ (x²y)³.
الحل:
البسط: x⁸y²
المقام: x⁶y³
الناتج: x² ÷ y
عند x = 2 ، y = 1: 4 ÷ 1 = 4
مثال 4: اختصر 9ⁿ × 3²ⁿ⁻¹ ÷ 27ⁿ.
الحل:
9ⁿ = 3²ⁿ
27ⁿ = 3³ⁿ
البسط: \[\begin{gathered}3^{2n} \times 3^{2n-1} = 3^{4n-1}\end{gathered}\]
القسمة: \[\begin{gathered}3^{4n-1} \div 3^{3n} = 3^{n-1}\end{gathered}\]
الناتج: 3ⁿ⁻¹
تذكر: الأخطاء الشائعة:
- نسيان توزيع الأس على المعامل.
- طرح الأسس بالترتيب المعكوس.
- ترك الناتج بأسس سالبة دون كتابتها بأسس موجبة.