الدرس 1-2: المعادلات الأسية

1-2-1 المعادلة الأسية وتوحيد الأساس

المعادلة الأسية معادلة يكون المجهول فيها في الأس؛ وإذا تساوت قوتان متحدتا الأساس تساوى أسيهما.

aˣ = aʸ ⟹ x = y (a > 0 ، a ≠ 1)

خطوات الحل:

• نكتب الطرفين بأساس واحد (بتحليل العدد إلى عوامله الأولية).
• نساوي الأسين.
• نحل المعادلة الناتجة.
• نتحقق بالتعويض.

قوى شائعة نحفظها:

2 : 2 ، 4 ، 8 ، 16 ، 32 ، 64 ، 128 ، 256

3 : 3 ، 9 ، 27 ، 81 ، 243

5 : 5 ، 25 ، 125 ، 625

علّل: نشترط a ≠ 1 لأن 1ˣ = 1ʸ = 1 لأي قيمتين x و y، فلا تتساوى الأسس بالضرورة.

التحقق: 2⁵ = 32 ✓

التحقق: 3⁴ = 81 ✓

4 = 2² و 8 = 2³

(2²)ˣ = 2³

2²ˣ = 2³

2x = 3

\(x = \dfrac{3}{2}\)

تذكر: الأخطاء الشائعة:

• مساواة الأساسين قبل توحيدهما.
• نسيان ضرب الأس: (2²)ˣ = 2²ˣ.
• نسيان التحقق بالتعويض.

1-2-2 معادلات فيها أسس سالبة وكسور

نكتب \(\dfrac{1}{a^{n}}\) على الصورة a⁻ⁿ، ونكتب 1 على الصورة a⁰، فتتحول المعادلة إلى مساواة أسس.

\[\begin{gathered}1 \div a^{n} = a^{-n}\end{gathered}\]

aˣ = \[\begin{gathered}1 \\[4pt] \therefore\; x = 0\end{gathered}\]

• الكسر \(\left(\dfrac{1}{2}\right)\)ˣ يساوي 2⁻ˣ.
• العدد العشري 0.001 يساوي 10⁻³.

لاحظ: الأساس الكسري \(\dfrac{1}{a}\) يُكتب a⁻¹.

التحقق: \(2^{-3} = \dfrac{1}{8}\) ✓

تذكر: الأخطاء الشائعة:

• كتابة \(\dfrac{1}{8} = 2^{3}\).
• الخلط بين \(\left(\dfrac{1}{2}\right)\)ˣ و 2ˣ.
• كتابة 5⁰ = 0.

1-2-3 معادلات تحتاج إلى عامل مشترك

عند وجود جمع أو طرح لقوى متحدة الأساس نكتب كل قوة بدلالة أصغر قوة ونأخذها عاملًا مشتركًا.

aˣ⁺ⁿ = aˣ × aⁿ

• نحول 2ˣ⁺¹ إلى 2ˣ × 2.
• نأخذ 2ˣ عاملًا مشتركًا.
• ثم نحل المعادلة الأسية البسيطة.

تذكر: الجمع لا يجمع الأسس: 2ˣ + 2ˣ⁺¹ ليست 2²ˣ⁺¹.

التحقق: 8 + 16 = 24 ✓

تذكر: الأخطاء الشائعة:

• نسيان أن الحد المأخوذ عاملًا يترك 1.
• جمع الأسس عند الجمع.

1-2-4 معادلات المجهول فيها هو الأساس

في xⁿ = c نكتب c على صورة قوة بالأس نفسه n.

xⁿ = aⁿ

• إذا كان n فرديًا فإن x = a فقط.
• إذا كان n زوجيًا فإن x = a أو x = −a.

لاحظ: المعادلة x² = −9 ليس لها حل في ℝ لأن المربع لا يكون سالبًا.

مجموعة الحل: {5}

الأس زوجي.

x = 3 أو x = −3

مجموعة الحل: {3 ، −3}

x − 1 = 7 أو x − 1 = −7

x = 8 أو x = −6

تذكر: الأخطاء الشائعة:

• نسيان الجذر السالب عند الأس الزوجي.
• إهمال إشارة الجذر عند الأس الفردي.

1-2-5 معادلات أساساتها مختلفة

نحلل كل أساس إلى قوة لعدد أولي مشترك ثم نساوي الأسس.

(aᵐ)ˣ = aᵐˣ

• 4 و 8 و 16 قوى للعدد 2.
• 9 و 27 و 81 قوى للعدد 3.
• بعد التوحيد نساوي الأسين ونحل.

تذكر: الأخطاء الشائعة: ضرب الأس في الأساس بدل الأس.

التحقق: 4³ = 64 و 2⁶ = 64 ✓

8ˣ = 2³ˣ و 4ˣ⁺¹ = 2²ˣ⁺²

3x = 2x + 2

x = 2

1-2-6 تطبيقات حياتية على المعادلات الأسية

كثير من المسائل يتضاعف فيها المقدار كل فترة ثابتة: الكمية النهائية = الكمية الابتدائية × (معامل التضاعف)ⁿ.

N = N₀ × rⁿ

• N₀ الكمية الابتدائية.
• r معامل التغير في الفترة الواحدة.
• n عدد الفترات = الزمن الكلي ÷ طول الفترة.

لاحظ: إذا كانت القيمة تنقص إلى النصف كل فترة فإن \(r = \dfrac{1}{2}\).

الزمن = \[\begin{gathered}8 \times 20 = 160\end{gathered}\] دقيقة

n = 3 سنوات

عدد الفترات = 9 ÷ 3 = 3

القيمة = \(8000 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{3}\)

= 8000 ÷ 8

= 1000 جنيه

الحجم = (2x)³ = 8x³

عند x = 3: \[\begin{gathered}8 \times 27 = 216\end{gathered}\] سم³

تذكر: الأخطاء الشائعة:

• نسيان قسمة الزمن على طول الفترة.
• كتابة الحجم بالأس 2.
• نسيان الوحدة.

1-2-7 معادلات تجمع أكثر من فكرة

نبدأ بتوحيد الأساس ثم نبسط الطرفين بقوانين الأسس ثم نساوي الأسس.

• نكتب كل عدد بأساسه الأولي.
• نجمع الأسس في الضرب ونطرحها في القسمة.
• نساوي الأسس ونحل.

لاحظ: تحقق من الحل بالتعويض في المعادلة الأصلية دائمًا.

التحقق: \[\begin{gathered}2^{1} \div 4^{-2} = 2 \times 16 = 32\end{gathered}\] ✓

التحقق: 3³ = 27 و 27¹ = 27 ✓

تذكر: الأخطاء الشائعة:

• نسيان توحيد الأساس.
• أخطاء الجمع والطرح في الأسس.
• ترك الحل دون تحقق.