16 1-3-4 علاقات خاصة بين الجذرين
نترجم العلاقة بين الجذرين إلى معادلة، ونحلها مع المجموع أو حاصل الضرب.
- أحد الجذرين ضعف الآخر: الجذران α و 2α.
- الجذران متعاكسان جمعيًا (أحدهما سالب الآخر): المجموع = 0 أي b = 0.
- الجذران متعاكسان ضربيًا (مقلوبان): حاصل الضرب = 1 أي c = a.
- الجذران متساويان: Δ = 0.
- الفرق بين الجذرين معلوم: نستخدم \[\begin{gathered}(\alpha - \beta )^{2} = (\alpha + \beta )^{2} - 4\alpha \beta \end{gathered}\].
لاحظ: يجب التحقق في النهاية أن الجذور تحقق شروط المسألة، مثل أن تكون حقيقية إن طُلب ذلك.
مثال 1: أحد جذري \[\begin{gathered}x^{2} - 9x + k = 0\end{gathered}\] ضعف الآخر. أوجد k.
الحل:
الجذران α و 2α.
المجموع: 3α = 9 ومنه α = 3
الضرب: 2α² = k
\[\begin{gathered}k = 2 \times 9 = 18\end{gathered}\]
الجذران 3 و 6.
مثال 2: أوجد قيمة k التي تجعل جذري \[\begin{gathered}x^{2} + (k - 4)x - 9 = 0\end{gathered}\] متعاكسين جمعيًا.
الحل:
المجموع = \[\begin{gathered}-(k - 4) = 0\end{gathered}\]
k = 4
المعادلة x² − 9 = 0 وجذراها ±3.
مثال 3: أوجد k التي تجعل جذري \[\begin{gathered}3x^{2} - 7x + (k + 1) = 0\end{gathered}\] مقلوبين.
الحل:
حاصل الضرب = \[\begin{gathered}(k + 1) \div 3 = 1\end{gathered}\]
k + 1 = 3
k = 2
مثال 4: الفرق بين جذري \[\begin{gathered}x^{2} - 6x + k = 0\end{gathered}\] يساوي 2. أوجد k.
الحل:
\[\begin{gathered}(\alpha - \beta )^{2} = 36 - 4k = 4\end{gathered}\]
4k = 32
k = 8
الجذران 4 و 2.
مثال 5: أحد جذري \[\begin{gathered}x^{2} - 3x + k = 0\end{gathered}\] يزيد على الآخر بمقدار 5. أوجد الجذرين.
الحل:
α + β = 3 و α − β = 5
α = 4 و β = −1
k = αβ = −4
تذكر: الأخطاء الشائعة: نسيان أن α − β قد تكون سالبة أو موجبة (نستخدم مربعها); التعويض بالعلاقة في المجموع فقط وإهمال حاصل الضرب.