18 1-3-6 تكوين معادلة جذراها مرتبطان بجذري معادلة أخرى
نحسب α + β و αβ من المعادلة المعطاة، ثم نحسب مجموع وضرب الجذرين الجديدين بدلالتهما.
- الجذران الجديدان 2α و 2β: المجموع الجديد 2(α + β) والضرب 4αβ.
- الجذران \(\dfrac{1}{\alpha}\) و \(\dfrac{1}{\beta}\): المجموع (α + β) ÷ αβ والضرب 1 ÷ αβ.
- الجذران α + 1 و β + 1: المجموع (α + β) + 2 والضرب αβ + (α + β) + 1.
- الجذران α² و β²: المجموع (α + β)² − 2αβ والضرب (αβ)².
لاحظ: بعد التكوين يمكن اختبار الجواب بحل المعادلتين الأصلية والجديدة في حالة الجذور البسيطة.
مثال 1: إذا كان α و β جذري \[\begin{gathered}x^{2} - 3x + 1 = 0\end{gathered}\] فكوّن المعادلة التي جذراها α² و β².
الحل:
α + β = 3 و αβ = 1
مجموع المربعين = 9 − 2 = 7
ضرب المربعين = 1² = 1
\[\begin{gathered}x^{2} - 7x + 1 = 0\end{gathered}\]
مثال 2: إذا كان α و β جذري \[\begin{gathered}2x^{2} - 5x - 3 = 0\end{gathered}\] فكوّن المعادلة التي جذراها \(\dfrac{1}{\alpha}\) و \(\dfrac{1}{\beta}\).
الحل:
\(\alpha + \beta = \dfrac{5}{2}\) و \(\alpha \beta = -\dfrac{3}{2}\)
المجموع الجديد = \[\begin{gathered}\left(\dfrac{5}{2}\right) \div \left(-\dfrac{3}{2}\right) = -\dfrac{5}{3}\end{gathered}\]
الضرب الجديد = \[\begin{gathered}1 \div \left(-\dfrac{3}{2}\right) = -\dfrac{2}{3}\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}x^{2} + \left(\dfrac{5}{3}\right)x - \dfrac{2}{3} = 0\end{gathered}\]
بالضرب في 3:
\[\begin{gathered}3x^{2} + 5x - 2 = 0\end{gathered}\]
مثال 3: إذا كان α و β جذري \[\begin{gathered}x^{2} - 3x + 1 = 0\end{gathered}\] فكوّن المعادلة التي جذراها α + 1 و β + 1.
الحل:
المجموع الجديد = 3 + 2 = 5
الضرب الجديد = \[\begin{gathered}1 + 3 + 1 = 5\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}x^{2} - 5x + 5 = 0\end{gathered}\]
مثال 4: إذا كان α و β جذري \[\begin{gathered}x^{2} - 3x + 1 = 0\end{gathered}\] فكوّن المعادلة التي جذراها 2α و 2β.
الحل:
المجموع الجديد = 6
الضرب الجديد = 4 × 1 = 4
\[\begin{gathered}x^{2} - 6x + 4 = 0\end{gathered}\]
تذكر:
- الأخطاء الشائعة: استعمال مجموع الجذور الأصلية كأنه مجموع الجذور الجديدة؛
- خطأ مقام الكسر في \(\dfrac{1}{\alpha}+ \dfrac{1}{\beta}\)؛
- نسيان تربيع الضرب في حالة α² و β².