21 1-4-3 إشارة الدالة التربيعية ذات الصفرين الحقيقيين المختلفين
إذا كان Δ > 0 وصفرا الدالة α < β فإشارة \[\begin{gathered}f(x) = \,\text{ax}^{2} + \,\text{bx} + c\end{gathered}\] هي إشارة a خارج الصفرين وعكس إشارة a بين الصفرين.
- نحلل أو نستخدم القانون لإيجاد الصفرين α و β.
- نرسم خط الأعداد ونكتب الصفرين.
- خارج الفترة [α ، β] الإشارة مثل إشارة a.
- داخل الفترة ]α ، β[ الإشارة عكس إشارة a.
لاحظ: يوافق ذلك رسم القطع المكافئ: إذا كان a > 0 فالفرعان لأعلى والمنحنى تحت المحور بين الصفرين وفوقه خارجهما.
مثال 1: عيّن إشارة \[\begin{gathered}f(x) = x^{2} - 5x + 6\end{gathered}\].
الحل:
\[\begin{gathered}(x - 2)(x - 3) = 0\end{gathered}\] فالصفران 2 و 3.
a = 1 > 0
f(x) > 0 عندما x < 2 أو x > 3
f(x) < 0 عندما 2 < x < 3
مثال 2: عيّن إشارة \[\begin{gathered}f(x) = -x^{2} + 4x - 3\end{gathered}\].
الحل:
\[\begin{gathered}-(x^{2} - 4x + 3) = -(x - 1)(x - 3)\end{gathered}\]
الصفران 1 و 3 و a = −1 < 0
f(x) < 0 عندما x < 1 أو x > 3
f(x) > 0 عندما 1 < x < 3
مثال 3: عيّن إشارة \[\begin{gathered}f(x) = 2x^{2} - x - 3\end{gathered}\].
الحل:
\[\begin{gathered}(2x - 3)(x + 1) = 0\end{gathered}\]
الصفران −1 و \(\dfrac{3}{2}\)
a = 2 > 0
f(x) > 0 عندما x < −1 أو x > \(\dfrac{3}{2}\)
f(x) < 0 عندما −1 < x < \(\dfrac{3}{2}\)
مثال 4: عيّن إشارة \[\begin{gathered}f(x) = x^{2} - 9\end{gathered}\].
الحل:
\[\begin{gathered}(x - 3)(x + 3) = 0\end{gathered}\]
الصفران −3 و 3 و a > 0
f(x) > 0 عندما x < −3 أو x > 3
f(x) < 0 عندما −3 < x < 3
تذكر:
- الأخطاء الشائعة: ترتيب الصفرين بشكل خاطئ على خط الأعداد؛
- نسيان مراعاة إشارة a عند استخراج عامل سالب؛
- تعميم إشارة واحدة على المجال كله.