22 1-4-4 إشارة الدالة التربيعية عندما Δ ≤ 0
إذا كان Δ = 0 فالدالة لها صفر وحيد وإشارتها مثل إشارة a في كل مكان عدا الصفر، وإذا كان Δ < 0 فإشارتها إشارة a لكل قيم x.
- Δ = 0: \[\begin{gathered}\,\text{ax}^{2} + \,\text{bx} + c = a(x - r)^{2}\end{gathered}\] حيث r = −b ÷ 2a.
- Δ < 0: لا أصفار حقيقية، والمنحنى لا يلمس المحور.
- المقدار a(x − r)² + q حيث q له إشارة a يكون ثابت الإشارة.
علّل: لماذا تكون x² + x + 1 موجبة دائمًا؟ لأن Δ = −3 < 0 و a = 1 > 0، فالمنحنى فوق المحور بالكامل.
مثال 1: عيّن إشارة \[\begin{gathered}f(x) = x^{2} - 6x + 9\end{gathered}\].
الحل:
\[\begin{gathered}\Delta = 36 - 36 = 0\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}f(x) = (x - 3)^{2} \ge 0\end{gathered}\]
f(x) = 0 عند x = 3
f(x) > 0 لكل x ≠ 3
مثال 2: عيّن إشارة \[\begin{gathered}f(x) = -x^{2} + 4x - 4\end{gathered}\].
الحل:
\[\begin{gathered}f(x) = -(x - 2)^{2}\end{gathered}\]
f(x) = 0 عند x = 2
f(x) < 0 لكل x ≠ 2
مثال 3: عيّن إشارة \[\begin{gathered}f(x) = x^{2} - 4x + 7\end{gathered}\].
الحل:
\[\begin{gathered}\Delta = 16 - 28 = -12\end{gathered}\] < 0
a = 1 > 0
الدالة موجبة لكل x.
مثال 4: عيّن إشارة \[\begin{gathered}f(x) = -2x^{2} + 3x - 5\end{gathered}\].
الحل:
\[\begin{gathered}\Delta = 9 - 40 = -31\end{gathered}\] < 0
a = −2 < 0
الدالة سالبة لكل x.
تذكر: الأخطاء الشائعة: اعتبار الدالة ذات Δ < 0 تغيّر إشارتها؛ نسيان أن الصفر موجود عندما Δ = 0.