11 2-2-6 نظرية فيثاغورث وعكسها
في المثلث القائم الزاوية مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين، وعكسها صحيح.
\[\begin{gathered}\,\text{BC}^{2} = \,\text{AB}^{2} + \,\text{AC}^{2}\end{gathered}\]
- البرهان من نظريتي إقليدس: \[\begin{gathered}\,\text{AB}^{2} + \,\text{AC}^{2} = \,\text{BD} \times \,\text{BC} + \,\text{CD} \times \,\text{BC} = (\,\text{BD} + \,\text{CD}) \times \,\text{BC} = \,\text{BC}^{2}\end{gathered}\].
- عكس النظرية: إذا كان مربع أكبر ضلع يساوي مجموع مربعي الضلعين الآخرين فالمثلث قائم الزاوية مقابل الأكبر.
- إذا كان مربع الأكبر أكبر من المجموع فالمثلث منفرج الزاوية، وإذا كان أصغر فهو حاد الزوايا.
لاحظ: الثلاثيات الفيثاغورية الشهيرة: (3 ، 4 ، 5) و (5 ، 12 ، 13) و (8 ، 15 ، 17) و (7 ، 24 ، 25).
مثال 1: هل المثلث الذي أضلاعه 7 و 24 و 25 قائم الزاوية؟
الحل:
\[\begin{gathered}7^{2} + 24^{2} = 49 + 576 = 625\end{gathered}\]
25² = 625
المجموع يساوي مربع الأكبر.
المثلث قائم الزاوية مقابل الضلع 25.
مثال 2: هل المثلث الذي أضلاعه 6 و 8 و 11 قائم الزاوية؟ وما نوعه من حيث الزوايا؟
الحل:
\[\begin{gathered}6^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100\end{gathered}\]
11² = 121
121 > 100
المثلث ليس قائمًا بل منفرج الزاوية.
مثال 3: سلم طوله 13 م يستند بطرفه العلوي على حائط رأسي وطرفه السفلي على بعد 5 م من الحائط. ما ارتفاع النقطة التي يلامس عندها الحائط؟
الحل:
\[\begin{gathered}h^{2} + 5^{2} = 13^{2}\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}h^{2} = 169 - 25 = 144\end{gathered}\]
h = 12 م
تذكر: الأخطاء الشائعة: جمع الأضلاع بدل جمع مربعاتها؛ اعتبار أحد الضلعين الصغيرين وترًا؛ تطبيق العكس دون ترتيب الأضلاع.