12 2-2-7 تطبيقات حياتية على تشابه المثلثات
نستعمل تشابه المثلثات لقياس أطوال يصعب قياسها مباشرة (ارتفاع مبنى، عرض نهر).
- الأشعة الضوئية متوازية فتتكون مثلثات متشابهة من الأجسام وظلالها.
- المرآة الأفقية تعكس الضوء بنفس زاوية السقوط فتتكون مثلثات متشابهة.
- نرسم نموذجًا هندسيًا للموقف ثم نحدد المثلثين المتشابهين.
لاحظ: القياس يكون في الوقت نفسه حتى تكون زاوية الشمس واحدة للجسمين.
مثال 1: عمود طوله غير معلوم يلقي ظلًا طوله 8 م، وفي الوقت نفسه شخص طوله 1.8 م يلقي ظلًا طوله 2.4 م. أوجد طول العمود.
الحل:
المثلثان متشابهان.
\[\begin{gathered}h \div 8 = 1.8 \div 2.4\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}h = 8 \times 1.8 \div 2.4\end{gathered}\]
h = 6 م
- مثال 2: وضع شخص مرآة أفقية على الأرض بين نفسه وشجرة، فرأى قمة الشجرة فيها.
- المسافة من قدميه إلى المرآة 2 م ومن المرآة إلى الشجرة 10 م وارتفاع عينيه 1.6 م.
- أوجد ارتفاع الشجرة.
الحل:
المثلثان متشابهان (زاويتا السقوط والانعكاس متساويتان والزاويتان القائمتان).
الارتفاع ÷ \[\begin{gathered}10 = 1.6 \div 2\end{gathered}\]
الارتفاع = \[\begin{gathered}1.6 \times 10 \div 2 = 8\end{gathered}\] م
- مثال 3: لقياس عرض نهر AB وقف شخص عند B على أحد الشاطئين وحدّد النقطة C على شاطئه حيث BC = 20 م، ثم النقطة E على امتداد BC بحيث CE = 5 م، وحدّد D بحيث DE ⊥ BE و DE = 8 م وتقع D و C و A على استقامة واحدة.
- أوجد عرض النهر.
الحل:
△ABC ~ △DEC (زاويتان قائمتان B و E والزاويتان عند C متقابلتان بالرأس)
\[\begin{gathered}\,\text{AB} \div \,\text{DE} = \,\text{BC} \div \,\text{EC}\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}\,\text{AB} \div 8 = 20 \div 5\end{gathered}\]
AB = 32 م
تذكر: الأخطاء الشائعة: وضع المسافات المتناظرة بترتيب خاطئ؛ اختيار مثلثين غير متشابهين؛ عدم رسم نموذج واضح للمسألة.