21 2-4-5 تطبيقات ومسائل متنوعة
نجمع بين نظريات الدائرة والتشابه وفيثاغورث لحل مسائل الأطوال.
- نرسم الشكل ونكتب معطيات القطع على الشكل.
- نحدد أي نظرية تناسب الشكل (وتران، قاطعان، مماس وقاطع).
- قد نحتاج إلى نصف القطر أو العمود من المركز على الوتر.
لاحظ: القوس (قنطرة) أو النفق على شكل جزء من دائرة يعتمد حله على قاعدة الوترين المتقاطعين.
- مثال 1: دائرة نصف قطرها 10 سم، وتر AB فيها طوله 16 سم، و E منتصف AB.
- أثبت أن AE × EB تساوي حاصل ضرب جزأي القطر المار بـ E، ثم أوجد المسافة من المركز إلى الوتر.
الحل:
AE = EB = 8
\[\begin{gathered}\,\text{AE} \times \,\text{EB} = 64\end{gathered}\]
المسافة من المركز إلى الوتر d: \[\begin{gathered}d^{2} = 10^{2} - 8^{2} = 36\end{gathered}\] ومنه d = 6
جزآ القطر: \[\begin{gathered}\,\text{CE} = 10 - 6 = 4\end{gathered}\] و \[\begin{gathered}\,\text{ED} = 10 + 6 = 16\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}\,\text{CE} \times \,\text{ED} = 64 = \,\text{AE} \times \,\text{EB}\end{gathered}\]
مثال 2: قنطرة على شكل قوس دائري، طول وترها 24 م وارتفاعها (السهم) 6 م. أوجد نصف قطر الدائرة.
الحل:
نصف الوتر = 12 م.
وتران متقاطعان: الوتر AB والقطر العمودي عليه.
\[\begin{gathered}12 \times 12 = 6 \times (2r - 6)\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}144 = 12r - 36\end{gathered}\]
12r = 180
r = 15 م
مثال 3: وتران AB و CD يتقاطعان في E، AE = 6 و EB = 4 و CE = ED. أوجد CD.
الحل:
\[\begin{gathered}\,\text{AE} \times \,\text{EB} = 24\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}\,\text{CE} \times \,\text{ED} = \,\text{CE}^{2} = 24\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}\,\text{CE} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}\,\text{CD} = 2 \times 2\sqrt{6} = 4\sqrt{6} \approx 9.8\end{gathered}\] سم
تذكر: الأخطاء الشائعة: نسيان أن القطر = 2r عند حساب القطعة الثانية من القطر؛ خلط جزء من الوتر مع القطر.