20 2-4-4 عكس النظريات: أربع نقاط على دائرة والمماس
- عكس نظرية الوترين: إذا تقاطعت القطعتان المستقيمتان AB و CD في E داخلهما وكان \[\begin{gathered}\,\text{AE} \times \,\text{EB} = \,\text{CE} \times \,\text{ED}\end{gathered}\] فإن النقط A و B و C و D تقع على دائرة واحدة.
- وعكس المماس: إذا كان \[\begin{gathered}(\,\text{MT})^{2} = \,\text{MA} \times \,\text{MB}\end{gathered}\] فإن MT مماس للدائرة المارة بالنقط T و A و B.
- نحسب حاصلي الضرب ونقارنهما: إذا تساويا فالنقط متحدة الدائرة.
- في الحالة الخارجية: M على امتداد القطعتين AB و CD وكان \[\begin{gathered}\,\text{MA} \times \,\text{MB} = \,\text{MC} \times \,\text{MD}\end{gathered}\] فالنقط تقع على دائرة.
- إذا كان \[\begin{gathered}\,\text{MT}^{2} = \,\text{MA} \times \,\text{MB}\end{gathered}\] فإن MT يمس الدائرة المارة بـ T و A و B.
لاحظ: في الإثبات نستخدم التشابه بالـ SAS، فنثبت أن △MTA ~ △MBT فتتساوى الزاويتان فيصبح MT مماسًا بنظرية المماس والوتر.
مثال 1: القطعتان AB و CD تتقاطعان في E، حيث AE = 3 و EB = 8 و CE = 4 و ED = 6. هل النقط A و B و C و D على دائرة واحدة؟
الحل:
\[\begin{gathered}\,\text{AE} \times \,\text{EB} = 3 \times 8 = 24\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}\,\text{CE} \times \,\text{ED} = 4 \times 6 = 24\end{gathered}\]
الحاصلان متساويان.
النقط الأربع تقع على دائرة واحدة (رباعي دائري).
مثال 2: القطعتان AB و CD تتقاطعان في E، حيث AE = 2 و EB = 9 و CE = 4 و ED = 5. هل النقط على دائرة واحدة؟
الحل:
\[\begin{gathered}\,\text{AE} \times \,\text{EB} = 18\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}\,\text{CE} \times \,\text{ED} = 20\end{gathered}\]
الحاصلان غير متساويين.
النقط لا تقع على دائرة واحدة.
مثال 3: النقطة D على امتداد BC خارج △ABC (C بين D و B) حيث DC = 4 و DB = 9. ما طول DA الذي يجعل DA مماسًا للدائرة المارة بالنقط A و B و C؟
الحل:
شرط المماسية: \[\begin{gathered}\,\text{DA}^{2} = \,\text{DC} \times \,\text{DB}\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}\,\text{DA}^{2} = 4 \times 9 = 36\end{gathered}\]
DA = 6
إذا كان DA = 6 فإن DA مماس للدائرة المارة بالنقط A و B و C.
تذكر: الأخطاء الشائعة: افتراض أن النقط على دائرة دون اختبار؛ استخدام العكس بدون التأكد من موضع نقطة التقاطع بين القطعتين.