08 2-2-3 حالة تناسب ضلعين وتساوي الزاوية المحصورة (SAS)
إذا تساوت زاوية في مثلث مع زاوية في مثلث آخر، وتناسب طولا الضلعين اللذين يحتويانها مع طولي الضلعين المناظرين، فالمثلثان متشابهان.
- يجب أن تكون الزاوية محصورة بين الضلعين المتناسبين.
- نكتب نسبتين متساويتين ثم نتحقق من تساوي الزاويتين.
- تُستعمل هذه الحالة لإثبات توازي مستقيمين أو مماسية.
علّل: لماذا لا تكفي زاوية غير محصورة؟ لأن موضع الزاوية قد يسمح بمثلثين مختلفين بالنسبة نفسها، فلا يتحدد الشكل.
مثال 1: △ABC فيه AB = 6 و AC = 9 والزاوية A = 50°، و △DEF فيه DE = 4 و DF = 6 والزاوية D = 50°. هل المثلثان متشابهان؟
الحل:
\[\begin{gathered}\,\text{AB} \div \,\text{DE} = 6 \div 4 = \dfrac{3}{2}\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}\,\text{AC} \div \,\text{DF} = 9 \div 6 = \dfrac{3}{2}\end{gathered}\]
الزاويتان المحصورتان A و D متساويتان.
△ABC ~ △DEF
مثال 2: △ABC فيه AB = 8 و AC = 12، والنقطتان D على AB و E على AC بحيث AD = 2 و AE = 3. أثبت أن DE ∥ BC، وإذا كان BC = 14 فأوجد DE.
الحل:
\[\begin{gathered}\,\text{AD} \div \,\text{AB} = 2 \div 8 = \dfrac{1}{4}\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}\,\text{AE} \div \,\text{AC} = 3 \div 12 = \dfrac{1}{4}\end{gathered}\]
الزاوية A مشتركة.
△ADE ~ △ABC
قياس ADE = قياس ABC وهما متناظرتان فإن DE ∥ BC.
\[\begin{gathered}\,\text{DE} = \dfrac{14 \times 1}{4} = 3.5\end{gathered}\]
مثال 3: △ABC فيه D على AB، و AD = 4 و AB = 9 و AC = 6. أثبت أن △ABC ~ △ACD، ثم استنتج مساواة قياسي الزاويتين ACD و B.
الحل:
\[\begin{gathered}\,\text{AC} \div \,\text{AB} = 6 \div 9 = \dfrac{2}{3}\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}\,\text{AD} \div \,\text{AC} = 4 \div 6 = \dfrac{2}{3}\end{gathered}\]
الزاوية A مشتركة.
△ABC ~ △ACD (A ↔ A و B ↔ C و C ↔ D)
إذن قياس ACD = قياس B.
تذكر: الأخطاء الشائعة: استعمال زاوية ليست محصورة؛ نسيان ذكر أن الزاوية المشتركة متساوية.