3-1-1 نظرية: المستقيم الموازي لأحد أضلاع المثلث

إذا رُسم مستقيم يوازي أحد أضلاع مثلث ويقطع الضلعين الآخرين فإنه يقسمهما إلى قطع أطوالها متناسبة.

في △ABC إذا كان D على AB و E على AC و DE ∥ BC فإن:

\[\begin{gathered}\,\text{AD} \div \,\text{DB} = \,\text{AE} \div \,\text{EC}\end{gathered}\]

• يمكن كتابة نسب أخرى: \[\begin{gathered}\,\text{AD} \div \,\text{AB} = \,\text{AE} \div \,\text{AC} = \,\text{DE} \div \,\text{BC}\end{gathered}\].
• البرهان: △ADE ~ △ABC لأن A مشتركة وقياس ADE = قياس ABC (متناظرتان).
• من التشابه \[\begin{gathered}\,\text{AD} \div \,\text{AB} = \,\text{AE} \div \,\text{AC}\end{gathered}\]، ومنه بالتجزئة \[\begin{gathered}\,\text{AD} \div \,\text{DB} = \,\text{AE} \div \,\text{EC}\end{gathered}\].
• القطع المتناسبة هي أجزاء الضلعين على جانبي المستقيم الموازي.

لاحظ: نكتب القطعة العليا ÷ القطعة السفلى في الطرفين، فلا نخلط بين AD و AB في النسبة نفسها.

علّل:

• لماذا تؤدي النسبة \[\begin{gathered}\,\text{AD} \div \,\text{AB} = \,\text{AE} \div \,\text{AC}\end{gathered}\] إلى \[\begin{gathered}\,\text{AD} \div \,\text{DB} = \,\text{AE} \div \,\text{EC}\end{gathered}\]؟
• نقلب النسبتين فنحصل على \[\begin{gathered}\,\text{AB} \div \,\text{AD} = \,\text{AC} \div \,\text{AE}\end{gathered}\]، ثم نطرح 1 من الطرفين فيكون \[\begin{gathered}(\,\text{AB} - \,\text{AD}) \div \,\text{AD} = (\,\text{AC} - \,\text{AE}) \div \,\text{AE}\end{gathered}\] أي \[\begin{gathered}\,\text{DB} \div \,\text{AD} = \,\text{EC} \div \,\text{AE}\end{gathered}\]، ثم نقلب مرة أخرى.

التحقق: AD = 3 و AE = 2 ثم \[\begin{gathered}3 \div 6 = 2 \div 4 = \dfrac{1}{2}\end{gathered}\].

تذكر:

• الأخطاء الشائعة: كتابة \[\begin{gathered}\,\text{AD} \div \,\text{DB} = \,\text{EC} \div \,\text{AE}\end{gathered}\] (بالمقلوب)؛
• استعمال AD في نسبة وAB في الأخرى؛
• نسيان أن DE ∥ BC شرط للنظرية.