الوحدة الثالثة: المستقيمات المتوازية والأجزاء المتناسبة ومنصفا الزاوية

إذا رُسم مستقيم يوازي أحد أضلاع مثلث ويقطع الضلعين الآخرين فإنه يقسمهما إلى قطع أطوالها متناسبة.

في △ABC إذا كان D على AB و E على AC و DE ∥ BC فإن:

\[\begin{gathered}\,\text{AD} \div \,\text{DB} = \,\text{AE} \div \,\text{EC}\end{gathered}\]

• يمكن كتابة نسب أخرى: \[\begin{gathered}\,\text{AD} \div \,\text{AB} = \,\text{AE} \div \,\text{AC} = \,\text{DE} \div \,\text{BC}\end{gathered}\].
• البرهان: △ADE ~ △ABC لأن A مشتركة وقياس ADE = قياس ABC (متناظرتان).
• من التشابه \[\begin{gathered}\,\text{AD} \div \,\text{AB} = \,\text{AE} \div \,\text{AC}\end{gathered}\]، ومنه بالتجزئة \[\begin{gathered}\,\text{AD} \div \,\text{DB} = \,\text{AE} \div \,\text{EC}\end{gathered}\].
• القطع المتناسبة هي أجزاء الضلعين على جانبي المستقيم الموازي.

لاحظ: نكتب القطعة العليا ÷ القطعة السفلى في الطرفين، فلا نخلط بين AD و AB في النسبة نفسها.

علّل:

• لماذا تؤدي النسبة \[\begin{gathered}\,\text{AD} \div \,\text{AB} = \,\text{AE} \div \,\text{AC}\end{gathered}\] إلى \[\begin{gathered}\,\text{AD} \div \,\text{DB} = \,\text{AE} \div \,\text{EC}\end{gathered}\]؟
• نقلب النسبتين فنحصل على \[\begin{gathered}\,\text{AB} \div \,\text{AD} = \,\text{AC} \div \,\text{AE}\end{gathered}\]، ثم نطرح 1 من الطرفين فيكون \[\begin{gathered}(\,\text{AB} - \,\text{AD}) \div \,\text{AD} = (\,\text{AC} - \,\text{AE}) \div \,\text{AE}\end{gathered}\] أي \[\begin{gathered}\,\text{DB} \div \,\text{AD} = \,\text{EC} \div \,\text{AE}\end{gathered}\]، ثم نقلب مرة أخرى.

التحقق: AD = 3 و AE = 2 ثم \[\begin{gathered}3 \div 6 = 2 \div 4 = \dfrac{1}{2}\end{gathered}\].

تذكر:

• الأخطاء الشائعة: كتابة \[\begin{gathered}\,\text{AD} \div \,\text{DB} = \,\text{EC} \div \,\text{AE}\end{gathered}\] (بالمقلوب)؛
• استعمال AD في نسبة وAB في الأخرى؛
• نسيان أن DE ∥ BC شرط للنظرية.

إذا قسم مستقيم ضلعين في مثلث إلى قطع أطوالها متناسبة فهو يوازي الضلع الثالث.

إذا كان \[\begin{gathered}\,\text{AD} \div \,\text{DB} = \,\text{AE} \div \,\text{EC}\end{gathered}\] فإن DE ∥ BC.

• نحسب النسبتين AD ÷ DB و AE ÷ EC ونقارن بينهما.
• إذا تساوتا فالمستقيم DE يوازي BC، وإلا فلا يوازيه.
• يلزم أن تقع D على AB و E على AC من جهة الرأس A نفسها (القطع الأصلية، لا الامتدادات).

لاحظ: عكس النظرية يُستعمل لإثبات التوازي بالحسابات من دون استعمال الزوايا.

النسبتان متساويتان.

DE ∥ BC

النسبتان غير متساويتين.

DE ليس موازيًا لـ BC.

AE = 6 و EC = 9.

DB = 12 و EC = 15

\[\begin{gathered}\,\text{AD} \div \,\text{DB} = 8 \div 12 = \dfrac{2}{3}\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\,\text{AE} \div \,\text{EC} = 10 \div 15 = \dfrac{2}{3}\end{gathered}\]

النسبتان متساويتان فيكون DE ∥ BC.

تذكر: الأخطاء الشائعة: مقارنة AD ÷ DB مع EC ÷ AE؛ نسيان حساب DB و EC من الطول الكلي؛ الحكم بالتوازي لأن العددين متقاربان.

القطعة المستقيمة الواصلة بين منتصفي ضلعين في مثلث توازي الضلع الثالث وطولها يساوي نصف طوله.

إذا كانت D منتصف AB و E منتصف AC فإن:

DE ∥ BC

DE = ½ BC

• النتيجة الأولى: \[\begin{gathered}\,\text{AD} \div \,\text{DB} = 1 = \,\text{AE} \div \,\text{EC}\end{gathered}\] فبالعكس DE ∥ BC.
• النتيجة الثانية: المستقيم المار بمنتصف ضلع ويوازي ضلعًا آخر ينصف الضلع الثالث.
• المثلث الواصل بين منتصفات الأضلاع الثلاثة محيطه نصف محيط المثلث الأصلي.
• في الشكل الرباعي: القطع الواصلة بين منتصفات الأضلاع تكوّن متوازي أضلاع.

تذكر: DE = ½ BC لا تعني DE = BC ÷ 2 فقط، بل أيضًا DE ∥ BC.

DE ∥ BC

محيط △ABC = 40

كل ضلع في المثلث الجديد نصف الضلع المقابل له.

المحيط الجديد = 40 ÷ 2 = 20

AD ÷ DB = 1 فإن AE ÷ EC = 1

E منتصف AC

AE = EC = 9

في △ABC: PQ = ½ AC = 5 و PQ ∥ AC

في △BCD: QR = ½ BD = 7

بالمثل SR = 5 و PS = 7

PQRS متوازي أضلاع.

المحيط = \[\begin{gathered}5 + 7 + 5 + 7 = 24\end{gathered}\]

تذكر: الأخطاء الشائعة: ضرب الطول في 2 بدل القسمة؛ نسيان أن النتيجة تشترط أن تكون النقطتان منتصفين؛ الخلط بين محيط المثلث الأصلي والجديد.

إذا قطع مستقيمان عدة مستقيمات متوازية فإن أطوال القطع الناتجة على أحد القاطعين تكون متناسبة مع أطوال القطع المناظرة لها على القاطع الآخر.

إذا كانت l₁ ∥ l₂ ∥ l₃ تقطع القاطع الأول في A و B و C والثاني في D و E و F فإن:

\[\begin{gathered}\,\text{AB} \div \,\text{BC} = \,\text{DE} \div \,\text{EF}\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\,\text{AB} \div \,\text{DE} = \,\text{BC} \div \,\text{EF} = \,\text{AC} \div \,\text{DF}\end{gathered}\]

• إذا كانت القطع على قاطع واحد متساوية، فالقطع على أي قاطع آخر متساوية أيضًا.
• يمكن بهذه النظرية تقسيم قطعة مستقيمة إلى أجزاء متساوية أو بنسبة معلومة.
• البرهان: نرسم قاطعًا موازيًا ونطبق نظرية المستقيم الموازي في المثلثات الناتجة.

لاحظ: تنطبق نظرية تاليس مهما كان القاطعان متوازيين أو متقاطعين.

نرسم من A شعاعًا ونأخذ عليه ثلاث قطع متساوية متتالية.

نصل آخر نقطة بالنقطة B ونرسم من النقطتين الأخريين موازيين لهذا المستقيم.

كل جزء = 12 ÷ 3 = 4 سم

بالنسبة 5 : 7: \[\begin{gathered}\,\text{AX} = \dfrac{12 \times 5}{12} = 5\end{gathered}\] و XB = 7

تذكر:

• الأخطاء الشائعة: مقارنة قطعة من قاطع بالقطعة غير المناظرة في الآخر؛
• نسيان أن المستقيمات يجب أن تكون متوازية؛
• الخلط بين نسبة القطعة إلى القاطع كله ونسبتها إلى القطعة الأخرى.

في شبه المنحرف ABCD الذي فيه AB ∥ CD: المستقيم الموازي للقاعدتين يقسم الساقين بنسبة واحدة.

• إذا كان XY ∥ AB (و XY ∥ CD) و X على AD و Y على BC فإن \[\begin{gathered}\,\text{AX} \div \,\text{XD} = \,\text{BY} \div \,\text{YC}\end{gathered}\].
• القطعة الواصلة بين منتصفي الساقين توازي القاعدتين وطولها نصف مجموع طولي القاعدتين.
• المستقيم المار بنقطة تقاطع القطرين M والموازي للقاعدتين ينصفه M.
• طول هذا المستقيم بين الساقين = 2ab ÷ (a + b) حيث a و b طولا القاعدتين.

لاحظ: كثير من مسائل شبه المنحرف نحلها برسم قطر أو مستقيم يشكل مثلثين ثم نطبق نظرية الموازي.

BY = 6 و YC = 4

في △ADC: XM ∥ DC فإن \[\begin{gathered}\,\text{XM} = \,\text{CD} \times \,\text{AM} \div \,\text{AC} = \dfrac{6 \times 2}{3} = 4\end{gathered}\]

بالمثل MY = 4

XY = 8

للتحقق: \[\begin{gathered}2\,\text{ab} \div (a + b) = 2 \times 12 \times 6 \div 18 = 8\end{gathered}\].

الطول = ½ \[\begin{gathered}(12 + 8) = 10\end{gathered}\]

في △CAB حيث EF ∥ AB: \[\begin{gathered}\,\text{CF} \div \,\text{FB} = \,\text{CE} \div \,\text{EA} = \dfrac{3}{2}\end{gathered}\]

BF : FC = 2 : 3

تذكر:

• الأخطاء الشائعة: جمع القاعدتين دون قسمة على 2 في القطعة الواصلة بين المنتصفين؛
• الخلط بين الساقين والقاعدتين؛
• نسيان أن المستقيم الموازي يجب أن يوازي القاعدتين.

منصف زاوية في مثلث (من الداخل) يقسم الضلع المقابل لها إلى قطعتين النسبة بين طوليهما تساوي النسبة بين طولي الضلعين الآخرين.

في △ABC إذا كان AD ينصف الزاوية A ويقطع BC في D فإن:

\[\begin{gathered}\,\text{BD} \div \,\text{DC} = \,\text{AB} \div \,\text{AC}\end{gathered}\]

• النسبة التي يقسم بها المنصف الضلع المقابل = نسبة ضلعي الزاوية.
• القطعة الأقرب إلى الضلع الأصغر هي الأصغر.
• البرهان: نرسم من C مستقيمًا يوازي AD ويقطع امتداد BA في E، فينتج △ACE متساوي الساقين (AE = AC)، ثم نطبق نظرية الموازي في △BCE.

لاحظ: \[\begin{gathered}\,\text{BD} \div \,\text{DC} = \,\text{AB} \div \,\text{AC}\end{gathered}\]: نكتب الضلع المجاور لـ B في البسط (AB) والمجاور لـ C في المقام (AC).

تذكر: إذا كان AB = AC (المثلث متساوي الساقين) فالمنصف ينصف القاعدة.

BD = 8 و DC = 12

△CDE ~ △CBA (DE ∥ AB)

\[\begin{gathered}\,\text{DE} \div \,\text{AB} = \,\text{DC} \div \,\text{BC} = 12 \div 20\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\,\text{DE} = \dfrac{12 \times 3}{5} = 7.2\end{gathered}\]

تذكر: الأخطاء الشائعة: وضع AB ÷ AC مقلوبة؛ جمع النسبة مع الطول؛ استخدام الضلع BC في نسبة المنصف الداخلي.

إذا قسمت نقطة D على BC الضلع BC بنسبة \[\begin{gathered}\,\text{BD} \div \,\text{DC} = \,\text{AB} \div \,\text{AC}\end{gathered}\] فإن AD ينصف الزاوية A.

• نحسب BD ÷ DC و AB ÷ AC ونقارن.
• إذا تساوتا كان AD منصفًا للزاوية A.
• نستعمل هذا لإثبات أن مستقيمًا ينصف زاوية دون قياسها.

لاحظ: الشرط أن تكون D على الضلع BC نفسه (بين B و C) للمنصف الداخلي.

النسبتان متساويتان.

AD ينصف الزاوية A.

النسبتان غير متساويتين.

AD لا ينصف الزاوية A.

D تبعد 8 عن B.

تذكر: الأخطاء الشائعة: افتراض أن AD منصف لأنه متوسط؛ نسيان فحص النسبة.

منصف الزاوية الخارجة للمثلث عند رأسه يقطع امتداد الضلع المقابل في نقطة تقسمه خارجيًا بنسبة تساوي النسبة بين طولي الضلعين الآخرين.

في △ABC إذا كان AE ينصف الزاوية الخارجة عند A ويقطع امتداد BC في E فإن:

\[\begin{gathered}\,\text{EB} \div \,\text{EC} = \,\text{AB} \div \,\text{AC}\end{gathered}\]

• يُرسم المنصف الخارجي ليقطع امتداد BC، ولا يقطعه إذا كان AB = AC (يكون موازيًا لـ BC).
• يقع E على جهة الضلع الأصغر (جهة B إذا كان AB < AC).
• المنصفان الداخلي والخارجي لزاوية متعامدان.

علّل: لماذا المنصفان متعامدان؟ لأن الزاويتين المتجاورتين على مستقيم مجموعهما 180° ومنصفاهما يصنعان ½ × 180° = 90°.

E على امتداد CB خلف B فيكون \[\begin{gathered}\,\text{EC} = \,\text{EB} + 10\end{gathered}\].

\[\begin{gathered}\,\text{EB} \div (\,\text{EB} + 10) = \dfrac{2}{3}\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}3\,\text{EB} = 2\,\text{EB} + 20\end{gathered}\]

EB = 20

EC = 30

E على امتداد BC بعد C فيكون EB = EC + 8.

\[\begin{gathered}(\,\text{EC} + 8) \div \,\text{EC} = \dfrac{5}{3}\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}3\,\text{EC} + 24 = 5\,\text{EC}\end{gathered}\]

EC = 12

EB = 20

لو قطعه في E لكان \[\begin{gathered}\,\text{EB} \div \,\text{EC} = \,\text{AB} \div \,\text{AC} = 1\end{gathered}\].

فيلزم EB = EC وهذا مستحيل لأن E خارج BC.

لا يقطعه، وإنما يوازي BC.

نضع B عند 0 و C عند 10 فتكون D عند 4 و E عند −20.

DE = 24

DE² = 576

\[\begin{gathered}\,\text{AD}^{2} + \,\text{AE}^{2} = 30 + 546 = 576\end{gathered}\]

وهذا يؤكد تعامد المنصفين: الزاوية DAE قائمة.

تذكر: الأخطاء الشائعة: وضع E بين B و C؛ استعمال BE ÷ BC بدلًا من EB ÷ EC؛ الخلط بين الجهة التي يقع فيها E.

إذا كان \[\begin{gathered}\,\text{EB} \div \,\text{EC} = \,\text{AB} \div \,\text{AC}\end{gathered}\] حيث E على امتداد BC فإن AE ينصف الزاوية الخارجة عند A.

• نتحقق من أن E على الامتداد (خارج BC) وأن النسبتين متساويتان.
• منصفات الزوايا الداخلية للمثلث تتقابل في نقطة واحدة هي مركز الدائرة الداخلة.
• المركز I يقسم المنصف AD بنسبة \[\begin{gathered}\,\text{AI} \div \,\text{ID} = (\,\text{AB} + \,\text{AC}) \div \,\text{BC}\end{gathered}\].
• البرهان: في △ABD المنصف BI للزاوية B فـ \[\begin{gathered}\,\text{AI} \div \,\text{ID} = \,\text{AB} \div \,\text{BD}\end{gathered}\]، ونعوّض \[\begin{gathered}\,\text{BD} = \,\text{AB} \times \,\text{BC} \div (\,\text{AB} + \,\text{AC})\end{gathered}\].

لاحظ: المنصفان الداخليان للزاويتين B و C يتقاطعان في I، ويقع I داخل المثلث دائمًا.

النسبتان متساويتان.

AE ينصف الزاوية الخارجة عند A.

BD = 6 و DC = 9

\[\begin{gathered}\,\text{AI} \div \,\text{ID} = (8 + 12) \div 15 = \dfrac{4}{3}\end{gathered}\]

تذكر: الأخطاء الشائعة: استعمال النسبة (AB + AC) ÷ BC على نقطة غير مركز الدائرة الداخلة؛ الخلط بين الدائرتين الداخلة والمارة بالرؤوس.

• طول المنصف الداخلي: \[\begin{gathered}(\,\text{AD})^{2} = \,\text{AB} \times \,\text{AC} - \,\text{BD} \times \,\text{DC}\end{gathered}\].
• وطول المنصف الخارجي: \[\begin{gathered}(\,\text{AE})^{2} = \,\text{EB} \times \,\text{EC} - \,\text{AB} \times \,\text{AC}\end{gathered}\].

\[\begin{gathered}\,\text{AD}^{2} = \,\text{AB} \times \,\text{AC} - \,\text{BD} \times \,\text{DC}\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\,\text{AE}^{2} = \,\text{EB} \times \,\text{EC} - \,\text{AB} \times \,\text{AC}\end{gathered}\]

• الأولى حيث D على BC بين B و C، والثانية حيث E على امتداد BC.
• البرهان (الأولى): نرسم دائرة المثلث ABC ونمد AD لتقطعها في F، فينتج △ABD ~ △AFC و \[\begin{gathered}\,\text{AB} \times \,\text{AC} = \,\text{AD} \times \,\text{AF} = \,\text{AD} (\,\text{AD} + \,\text{DF}) = \,\text{AD}^{2} + \,\text{BD} \times \,\text{DC}\end{gathered}\].
• نحسب BD و DC من نظرية المنصف ثم نعوّض.

تذكر: في الداخلي نطرح BD × DC، وفي الخارجي نطرح AB × AC من EB × EC.

BD = 4 و DC = 6

\[\begin{gathered}\,\text{AD}^{2} = 6 \times 9 - 4 \times 6\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\,\text{AD}^{2} = 54 - 24 = 30\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\,\text{AD} = \sqrt{30} \approx 5.48\end{gathered}\]

BD = 6 و DC = 9

\[\begin{gathered}\,\text{AD}^{2} = 8 \times 12 - 6 \times 9\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\,\text{AD}^{2} = 96 - 54 = 42\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\,\text{AD} = \sqrt{42} \approx 6.48\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\,\text{BD} \div \,\text{DC} = \dfrac{3}{4}\end{gathered}\] فـ \(\,\text{BD} = \dfrac{15}{7}\) و \(\,\text{DC} = \dfrac{20}{7}\)

\[\begin{gathered}\,\text{AD}^{2} = 3 \times 4 - \left(\dfrac{15}{7}\right)\left(\dfrac{20}{7}\right)\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\,\text{AD}^{2} = 12 - \dfrac{300}{49}\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\,\text{AD}^{2} = \dfrac{588 - 300}{49} = \dfrac{288}{49}\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\,\text{AD} = 12\sqrt{2} \div 7 \approx 2.42\end{gathered}\]

تذكر: الأخطاء الشائعة: نسيان الطرح أو عكس الحدود؛ أخذ BD × DC بدل AB × AC في الخارجي؛ نسيان الجذر التربيعي في النهاية.

نربط بين نظرية المنصف والتشابه والمساحة لحل مسائل متعددة الخطوات.

• نسبة مساحتي △ABD و △ADC تساوي BD ÷ DC لتساوي الارتفاع، وتساوي AB ÷ AC.
• المنصف الداخلي مع المستقيم الموازي لأحد الضلعين يعطي مثلثًا متساوي الساقين.
• نحدد أي النظريتين نستخدم: الداخلي أم الخارجي حسب موضع النقطة.

لاحظ: إذا رُسم من D (على BC) مستقيم يوازي AB ويقطع AC في E، وكان AD منصفًا، فإن AE = DE (△ADE متساوي الساقين).

قياس EDA = قياس DAB (متبادلتان)

قياس DAB = قياس DAE (AD منصف)

إذن قياس EDA = قياس DAE فيكون EA = ED.

DC = 12 (من \[\begin{gathered}\,\text{BD} \div \,\text{DC} = \dfrac{2}{3}\end{gathered}\] و BC = 20).

\[\begin{gathered}\,\text{CE} \div \,\text{CA} = \,\text{DC} \div \,\text{CB} = \dfrac{12}{20}\end{gathered}\] فإن CE = 10.8

\[\begin{gathered}\,\text{AE} = 18 - 10.8 = 7.2\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\,\text{DE} = \,\text{AE} = 7.2\end{gathered}\]

للمثلثين الارتفاع نفسه من A.

نسبة المساحتين = BD ÷ DC = 3 : 2

BD = 4 و DC = 6

تذكر:

• الأخطاء الشائعة: افتراض أن المنصف يقسم الضلع بنسبة 1 : 1 دائمًا؛
• تجاهل شرط ترتيب النقاط على المستقيم؛
• تشويش النسبة بين الأضلاع والنسبة بين المساحات.