02 3-1-2 عكس النظرية
إذا قسم مستقيم ضلعين في مثلث إلى قطع أطوالها متناسبة فهو يوازي الضلع الثالث.
إذا كان \[\begin{gathered}\,\text{AD} \div \,\text{DB} = \,\text{AE} \div \,\text{EC}\end{gathered}\] فإن DE ∥ BC.
- نحسب النسبتين AD ÷ DB و AE ÷ EC ونقارن بينهما.
- إذا تساوتا فالمستقيم DE يوازي BC، وإلا فلا يوازيه.
- يلزم أن تقع D على AB و E على AC من جهة الرأس A نفسها (القطع الأصلية، لا الامتدادات).
لاحظ: عكس النظرية يُستعمل لإثبات التوازي بالحسابات من دون استعمال الزوايا.
مثال 1: في △ABC النقطة D على AB والنقطة E على AC، AD = 4 و DB = 6 و AE = 6 و EC = 9. هل DE ∥ BC؟
الحل:
\[\begin{gathered}\,\text{AD} \div \,\text{DB} = 4 \div 6 = \dfrac{2}{3}\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}\,\text{AE} \div \,\text{EC} = 6 \div 9 = \dfrac{2}{3}\end{gathered}\]
النسبتان متساويتان.
DE ∥ BC
مثال 2: في △ABC النقطة D على AB والنقطة E على AC، AD = 3 و DB = 5 و AE = 4 و EC = 7. هل DE ∥ BC؟
الحل:
\[\begin{gathered}\,\text{AD} \div \,\text{DB} = \dfrac{3}{5} = 0.6\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}\,\text{AE} \div \,\text{EC} = \dfrac{4}{7} \approx 0.571\end{gathered}\]
النسبتان غير متساويتين.
DE ليس موازيًا لـ BC.
مثال 3: أوجد قيمة x التي تجعل DE ∥ BC إذا كان AD = 6 و DB = 9 و AE = x و EC = x + 3.
الحل:
\[\begin{gathered}6 \div 9 = x \div (x + 3)\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}6(x + 3) = 9x\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}6x + 18 = 9x\end{gathered}\]
3x = 18
x = 6
AE = 6 و EC = 9.
مثال 4: △ABC فيه AB = 20 و AC = 25، والنقطة D على AB حيث AD = 8 والنقطة E على AC حيث AE = 10. أثبت أن DE ∥ BC.
الحل:
DB = 12 و EC = 15
\[\begin{gathered}\,\text{AD} \div \,\text{DB} = 8 \div 12 = \dfrac{2}{3}\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}\,\text{AE} \div \,\text{EC} = 10 \div 15 = \dfrac{2}{3}\end{gathered}\]
النسبتان متساويتان فيكون DE ∥ BC.
تذكر: الأخطاء الشائعة: مقارنة AD ÷ DB مع EC ÷ AE؛ نسيان حساب DB و EC من الطول الكلي؛ الحكم بالتوازي لأن العددين متقاربان.