10 3-2-5 طول المنصف الداخلي والخارجي
- طول المنصف الداخلي: \[\begin{gathered}(\,\text{AD})^{2} = \,\text{AB} \times \,\text{AC} - \,\text{BD} \times \,\text{DC}\end{gathered}\].
- وطول المنصف الخارجي: \[\begin{gathered}(\,\text{AE})^{2} = \,\text{EB} \times \,\text{EC} - \,\text{AB} \times \,\text{AC}\end{gathered}\].
\[\begin{gathered}\,\text{AD}^{2} = \,\text{AB} \times \,\text{AC} - \,\text{BD} \times \,\text{DC}\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}\,\text{AE}^{2} = \,\text{EB} \times \,\text{EC} - \,\text{AB} \times \,\text{AC}\end{gathered}\]
- الأولى حيث D على BC بين B و C، والثانية حيث E على امتداد BC.
- البرهان (الأولى): نرسم دائرة المثلث ABC ونمد AD لتقطعها في F، فينتج △ABD ~ △AFC و \[\begin{gathered}\,\text{AB} \times \,\text{AC} = \,\text{AD} \times \,\text{AF} = \,\text{AD} (\,\text{AD} + \,\text{DF}) = \,\text{AD}^{2} + \,\text{BD} \times \,\text{DC}\end{gathered}\].
- نحسب BD و DC من نظرية المنصف ثم نعوّض.
تذكر: في الداخلي نطرح BD × DC، وفي الخارجي نطرح AB × AC من EB × EC.
مثال 1: △ABC فيه AB = 6 و AC = 9 و BC = 10 و AD منصف داخلي. أوجد AD.
الحل:
BD = 4 و DC = 6
\[\begin{gathered}\,\text{AD}^{2} = 6 \times 9 - 4 \times 6\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}\,\text{AD}^{2} = 54 - 24 = 30\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}\,\text{AD} = \sqrt{30} \approx 5.48\end{gathered}\]
مثال 2: △ABC متساوي الساقين فيه \[\begin{gathered}\,\text{AB} = \,\text{AC} = 13\end{gathered}\] و BC = 10 و AD ينصف الزاوية A. أوجد AD.
الحل:
BD = DC = 5
\[\begin{gathered}\,\text{AD}^{2} = 13 \times 13 - 5 \times 5\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}\,\text{AD}^{2} = 169 - 25 = 144\end{gathered}\]
AD = 12
مثال 3: △ABC فيه AB = 8 و AC = 12 و BC = 15 و AD منصف داخلي. أوجد AD.
الحل:
BD = 6 و DC = 9
\[\begin{gathered}\,\text{AD}^{2} = 8 \times 12 - 6 \times 9\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}\,\text{AD}^{2} = 96 - 54 = 42\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}\,\text{AD} = \sqrt{42} \approx 6.48\end{gathered}\]
مثال 4: △ABC فيه AB = 3 و AC = 4 و BC = 5 والزاوية A قائمة، و AD منصف داخلي. أوجد AD.
الحل:
\[\begin{gathered}\,\text{BD} \div \,\text{DC} = \dfrac{3}{4}\end{gathered}\] فـ \(\,\text{BD} = \dfrac{15}{7}\) و \(\,\text{DC} = \dfrac{20}{7}\)
\[\begin{gathered}\,\text{AD}^{2} = 3 \times 4 - \left(\dfrac{15}{7}\right)\left(\dfrac{20}{7}\right)\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}\,\text{AD}^{2} = 12 - \dfrac{300}{49}\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}\,\text{AD}^{2} = \dfrac{588 - 300}{49} = \dfrac{288}{49}\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}\,\text{AD} = 12\sqrt{2} \div 7 \approx 2.42\end{gathered}\]
مثال 5: في △ABC فيه AB = 6 و AC = 9 و BC = 10، المنصف الخارجي AE يقطع امتداد CB في E (EB = 20 و EC = 30). أوجد AE.
الحل:
\[\begin{gathered}\,\text{AE}^{2} = \,\text{EB} \times \,\text{EC} - \,\text{AB} \times \,\text{AC}\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}\,\text{AE}^{2} = 600 - 54 = 546\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}\,\text{AE} = \sqrt{546} \approx 23.37\end{gathered}\]
تذكر: الأخطاء الشائعة: نسيان الطرح أو عكس الحدود؛ أخذ BD × DC بدل AB × AC في الخارجي؛ نسيان الجذر التربيعي في النهاية.