09 3-2-4 حالات خاصة وعكس المنصف الخارجي
إذا كان \[\begin{gathered}\,\text{EB} \div \,\text{EC} = \,\text{AB} \div \,\text{AC}\end{gathered}\] حيث E على امتداد BC فإن AE ينصف الزاوية الخارجة عند A.
- نتحقق من أن E على الامتداد (خارج BC) وأن النسبتين متساويتان.
- منصفات الزوايا الداخلية للمثلث تتقابل في نقطة واحدة هي مركز الدائرة الداخلة.
- المركز I يقسم المنصف AD بنسبة \[\begin{gathered}\,\text{AI} \div \,\text{ID} = (\,\text{AB} + \,\text{AC}) \div \,\text{BC}\end{gathered}\].
- البرهان: في △ABD المنصف BI للزاوية B فـ \[\begin{gathered}\,\text{AI} \div \,\text{ID} = \,\text{AB} \div \,\text{BD}\end{gathered}\]، ونعوّض \[\begin{gathered}\,\text{BD} = \,\text{AB} \times \,\text{BC} \div (\,\text{AB} + \,\text{AC})\end{gathered}\].
لاحظ: المنصفان الداخليان للزاويتين B و C يتقاطعان في I، ويقع I داخل المثلث دائمًا.
مثال 1: △ABC فيه AB = 6 و AC = 9 و BC = 10، والنقطة E على امتداد CB حيث EB = 20 و EC = 30. هل AE ينصف الزاوية الخارجة عند A؟
الحل:
\[\begin{gathered}\,\text{EB} \div \,\text{EC} = \dfrac{20}{30} = \dfrac{2}{3}\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}\,\text{AB} \div \,\text{AC} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}\end{gathered}\]
النسبتان متساويتان.
AE ينصف الزاوية الخارجة عند A.
مثال 2: △ABC فيه AB = 6 و AC = 9 و BC = 10، و AD المنصف الداخلي، و I نقطة تقاطع المنصفات. أوجد AI ÷ ID.
الحل:
\[\begin{gathered}\,\text{AI} \div \,\text{ID} = (\,\text{AB} + \,\text{AC}) \div \,\text{BC}\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}\,\text{AI} \div \,\text{ID} = \dfrac{15}{10} = \dfrac{3}{2}\end{gathered}\]
مثال 3: △ABC فيه AB = 8 و AC = 12 و BC = 15، و AD المنصف الداخلي. أوجد BD و DC و AI ÷ ID.
الحل:
\[\begin{gathered}\,\text{BD} \div \,\text{DC} = \dfrac{8}{12} = \dfrac{2}{3}\end{gathered}\]
BD = 6 و DC = 9
\[\begin{gathered}\,\text{AI} \div \,\text{ID} = (8 + 12) \div 15 = \dfrac{4}{3}\end{gathered}\]
تذكر: الأخطاء الشائعة: استعمال النسبة (AB + AC) ÷ BC على نقطة غير مركز الدائرة الداخلة؛ الخلط بين الدائرتين الداخلة والمارة بالرؤوس.