03 3-1-3 نتائج: قطعة المنتصفين
القطعة المستقيمة الواصلة بين منتصفي ضلعين في مثلث توازي الضلع الثالث وطولها يساوي نصف طوله.
إذا كانت D منتصف AB و E منتصف AC فإن:
DE ∥ BC
DE = ½ BC
- النتيجة الأولى: \[\begin{gathered}\,\text{AD} \div \,\text{DB} = 1 = \,\text{AE} \div \,\text{EC}\end{gathered}\] فبالعكس DE ∥ BC.
- النتيجة الثانية: المستقيم المار بمنتصف ضلع ويوازي ضلعًا آخر ينصف الضلع الثالث.
- المثلث الواصل بين منتصفات الأضلاع الثلاثة محيطه نصف محيط المثلث الأصلي.
- في الشكل الرباعي: القطع الواصلة بين منتصفات الأضلاع تكوّن متوازي أضلاع.
تذكر: DE = ½ BC لا تعني DE = BC ÷ 2 فقط، بل أيضًا DE ∥ BC.
مثال 1: D و E منتصفا AB و AC في △ABC، و BC = 14. أوجد DE.
الحل:
DE = ½ × 14 = 7
DE ∥ BC
مثال 2: أطوال أضلاع △ABC هي 10 و 14 و 16. أوجد محيط المثلث الواصل بين منتصفات أضلاعه.
الحل:
محيط △ABC = 40
كل ضلع في المثلث الجديد نصف الضلع المقابل له.
المحيط الجديد = 40 ÷ 2 = 20
مثال 3: D منتصف AB في △ABC، رُسم DE ∥ BC ويقطع AC في E. إذا كان AC = 18 فأوجد AE و EC.
الحل:
AD ÷ DB = 1 فإن AE ÷ EC = 1
E منتصف AC
AE = EC = 9
مثال 4: الشكل الرباعي ABCD قطراه AC = 10 و BD = 14، و P و Q و R و S منتصفات AB و BC و CD و DA على الترتيب. أوجد محيط PQRS.
الحل:
في △ABC: PQ = ½ AC = 5 و PQ ∥ AC
في △BCD: QR = ½ BD = 7
بالمثل SR = 5 و PS = 7
PQRS متوازي أضلاع.
المحيط = \[\begin{gathered}5 + 7 + 5 + 7 = 24\end{gathered}\]
تذكر: الأخطاء الشائعة: ضرب الطول في 2 بدل القسمة؛ نسيان أن النتيجة تشترط أن تكون النقطتان منتصفين؛ الخلط بين محيط المثلث الأصلي والجديد.