05 3-1-5 تطبيقات على شبه المنحرف
في شبه المنحرف ABCD الذي فيه AB ∥ CD: المستقيم الموازي للقاعدتين يقسم الساقين بنسبة واحدة.
- إذا كان XY ∥ AB (و XY ∥ CD) و X على AD و Y على BC فإن \[\begin{gathered}\,\text{AX} \div \,\text{XD} = \,\text{BY} \div \,\text{YC}\end{gathered}\].
- القطعة الواصلة بين منتصفي الساقين توازي القاعدتين وطولها نصف مجموع طولي القاعدتين.
- المستقيم المار بنقطة تقاطع القطرين M والموازي للقاعدتين ينصفه M.
- طول هذا المستقيم بين الساقين = 2ab ÷ (a + b) حيث a و b طولا القاعدتين.
لاحظ: كثير من مسائل شبه المنحرف نحلها برسم قطر أو مستقيم يشكل مثلثين ثم نطبق نظرية الموازي.
مثال 1: في شبه المنحرف ABCD حيث AB ∥ CD رُسم XY ∥ AB حيث X على AD و Y على BC. إذا كان AX = 3 و XD = 2 و BC = 10 فأوجد BY و YC.
الحل:
\[\begin{gathered}\,\text{AX} \div \,\text{XD} = \,\text{BY} \div \,\text{YC} = \dfrac{3}{2}\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}\,\text{BY} + \,\text{YC} = 10\end{gathered}\]
BY = 6 و YC = 4
- مثال 2: في شبه المنحرف ABCD حيث AB ∥ CD و AB = 12 و CD = 6 يتقاطع القطران في M، ورُسم من M مستقيم يوازي القاعدتين ويقطع AD في X و BC في Y.
- أوجد XM و XY.
الحل:
\[\begin{gathered}\,\text{MA} \div \,\text{MC} = \,\text{AB} \div \,\text{CD} = 12 \div 6 = 2\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}\,\text{AM} \div \,\text{AC} = \dfrac{2}{3}\end{gathered}\]
في △ADC: XM ∥ DC فإن \[\begin{gathered}\,\text{XM} = \,\text{CD} \times \,\text{AM} \div \,\text{AC} = \dfrac{6 \times 2}{3} = 4\end{gathered}\]
بالمثل MY = 4
XY = 8
للتحقق: \[\begin{gathered}2\,\text{ab} \div (a + b) = 2 \times 12 \times 6 \div 18 = 8\end{gathered}\].
مثال 3: شبه منحرف قاعدتاه 12 و 8، أوجد طول القطعة الواصلة بين منتصفي ساقيه.
الحل:
الطول = ½ \[\begin{gathered}(12 + 8) = 10\end{gathered}\]
مثال 4: في △ABC النقطة D على AB حيث AD : DB = 2 : 3 ورُسم DE ∥ BC ويقطع AC في E، ثم رُسم EF ∥ AB ويقطع BC في F. أوجد BF : FC.
الحل:
\[\begin{gathered}\,\text{AE} \div \,\text{EC} = \,\text{AD} \div \,\text{DB} = \dfrac{2}{3}\end{gathered}\]
في △CAB حيث EF ∥ AB: \[\begin{gathered}\,\text{CF} \div \,\text{FB} = \,\text{CE} \div \,\text{EA} = \dfrac{3}{2}\end{gathered}\]
BF : FC = 2 : 3
تذكر:
- الأخطاء الشائعة: جمع القاعدتين دون قسمة على 2 في القطعة الواصلة بين المنتصفين؛
- الخلط بين الساقين والقاعدتين؛
- نسيان أن المستقيم الموازي يجب أن يوازي القاعدتين.