08 3-2-3 نظرية المنصف الخارجي
منصف الزاوية الخارجة للمثلث عند رأسه يقطع امتداد الضلع المقابل في نقطة تقسمه خارجيًا بنسبة تساوي النسبة بين طولي الضلعين الآخرين.
في △ABC إذا كان AE ينصف الزاوية الخارجة عند A ويقطع امتداد BC في E فإن:
\[\begin{gathered}\,\text{EB} \div \,\text{EC} = \,\text{AB} \div \,\text{AC}\end{gathered}\]
- يُرسم المنصف الخارجي ليقطع امتداد BC، ولا يقطعه إذا كان AB = AC (يكون موازيًا لـ BC).
- يقع E على جهة الضلع الأصغر (جهة B إذا كان AB < AC).
- المنصفان الداخلي والخارجي لزاوية متعامدان.
علّل: لماذا المنصفان متعامدان؟ لأن الزاويتين المتجاورتين على مستقيم مجموعهما 180° ومنصفاهما يصنعان ½ × 180° = 90°.
مثال 1: △ABC فيه AB = 6 و AC = 9 و BC = 10، و AE ينصف الزاوية الخارجة عند A ويقطع امتداد CB في E. أوجد EB و EC.
الحل:
\[\begin{gathered}\,\text{EB} \div \,\text{EC} = \,\text{AB} \div \,\text{AC} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}\end{gathered}\]
E على امتداد CB خلف B فيكون \[\begin{gathered}\,\text{EC} = \,\text{EB} + 10\end{gathered}\].
\[\begin{gathered}\,\text{EB} \div (\,\text{EB} + 10) = \dfrac{2}{3}\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}3\,\text{EB} = 2\,\text{EB} + 20\end{gathered}\]
EB = 20
EC = 30
مثال 2: △ABC فيه AB = 10 و AC = 6 و BC = 8، و AE ينصف الزاوية الخارجة عند A ويقطع امتداد BC في E. أوجد EB و EC.
الحل:
\[\begin{gathered}\,\text{EB} \div \,\text{EC} = \dfrac{10}{6} = \dfrac{5}{3}\end{gathered}\]
E على امتداد BC بعد C فيكون EB = EC + 8.
\[\begin{gathered}(\,\text{EC} + 8) \div \,\text{EC} = \dfrac{5}{3}\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}3\,\text{EC} + 24 = 5\,\text{EC}\end{gathered}\]
EC = 12
EB = 20
مثال 3: △ABC متساوي الساقين فيه AB = AC. هل يقطع منصف الزاوية الخارجة عند A المستقيم BC؟
الحل:
لو قطعه في E لكان \[\begin{gathered}\,\text{EB} \div \,\text{EC} = \,\text{AB} \div \,\text{AC} = 1\end{gathered}\].
فيلزم EB = EC وهذا مستحيل لأن E خارج BC.
لا يقطعه، وإنما يوازي BC.
- مثال 4: في المثال 1 المنصف الداخلي AD يقطع BC في D (BD = 4 و DC = 6).
- أثبت أن \[\begin{gathered}\,\text{AD}^{2} + \,\text{AE}^{2} = \,\text{DE}^{2}\end{gathered}\] عدديًا علمًا بأن AD² = 30 و AE² = 546.
الحل:
نضع B عند 0 و C عند 10 فتكون D عند 4 و E عند −20.
DE = 24
DE² = 576
\[\begin{gathered}\,\text{AD}^{2} + \,\text{AE}^{2} = 30 + 546 = 576\end{gathered}\]
وهذا يؤكد تعامد المنصفين: الزاوية DAE قائمة.
تذكر: الأخطاء الشائعة: وضع E بين B و C؛ استعمال BE ÷ BC بدلًا من EB ÷ EC؛ الخلط بين الجهة التي يقع فيها E.