23 4-5-4 السعة والدورة: y = a sin bx و y = a cos bx
للدالة \[\begin{gathered}y = a \sin \,\text{bx}\end{gathered}\] (أو a cos bx): السعة |a| والدورة 2π ÷ |b| والمدى [−|a| ، |a|].
السعة = |a|
الدورة = 2π ÷ |b|
- |a| نصف المسافة بين القيمة العظمى والصغرى.
- b يضغط المنحنى أفقيًا أو يمدّه.
- الإضافة c في \[\begin{gathered}y = a \sin \,\text{bx} + c\end{gathered}\] تنقل المنحنى رأسيًا فيصبح المدى [c − |a| ، c + |a|].
- إذا كان a سالبًا انعكس المنحنى حول محور السينات.
لاحظ: عدد الدورات في الفترة [0 ، 2π] يساوي |b| للدالة a sin bx.
مثال 1: أوجد السعة والدورة للدالة \[\begin{gathered}y = 3 \sin 2x\end{gathered}\] ومداها.
الحل:
السعة = 3
الدورة = 2π ÷ 2 = π
المدى = [−3 ، 3]
مثال 2: أوجد السعة والدورة للدالة \[\begin{gathered}y = -2 \cos \left(\dfrac{x}{2}\right)\end{gathered}\].
الحل:
السعة = |−2| = 2
الدورة = \[\begin{gathered}2\pi \div \left(\dfrac{1}{2}\right) = 4\pi \end{gathered}\]
المدى = [−2 ، 2]
مثال 3: أوجد المدى والدورة للدالة \[\begin{gathered}y = \sin 3x + 1\end{gathered}\].
الحل:
السعة = 1
الدورة = \(\dfrac{2\pi}{3}\)
المدى = [0 ، 2]
مثال 4: أوجد القيمتين العظمى والصغرى للدالة \[\begin{gathered}y = 2 \cos x - 1\end{gathered}\].
الحل:
العظمى = \[\begin{gathered}2 \times 1 - 1 = 1\end{gathered}\]
الصغرى = \[\begin{gathered}2 \times (-1) - 1 = -3\end{gathered}\]
المدى = [−3 ، 1]
مثال 5: كوّن جدول قيم y = 2 sin x عند x = 0 و \(\dfrac{\pi}{2}\) و π و \(\dfrac{3\pi}{2}\) و 2π.
الحل:
x = 0: y = 0
\(x = \dfrac{\pi}{2}\): y = 2
x = π: y = 0
\(x = \dfrac{3\pi}{2}\): y = −2
x = 2π: y = 0
تذكر: الأخطاء الشائعة: كتابة الدورة π ÷ b للجيب (الصحيح 2π ÷ b)؛ نسيان القيمة المطلقة للسعة؛ التعويض بالراديان وبالدرجات معًا.