22 4-5-3 منحنى دالة الظل y = tan x
دالة الظل مجالها ℝ \(- {\dfrac{\pi}{2} + n\pi }\) ومداها ℝ ودورتها π، وهي فردية.
- أصفارها: x = nπ.
- خطوط التقارب الرأسية: \[\begin{gathered}x = \dfrac{\pi}{2} + n\pi \end{gathered}\].
- متزايدة على كل فترة من فتراتها.
- \[\begin{gathered}\tan \left(\dfrac{\pi}{4}\right) = 1\end{gathered}\] و \[\begin{gathered}\tan \left(-\dfrac{\pi}{4}\right) = -1\end{gathered}\].
علّل:
- لماذا لا تعرّف tan عند \(\dfrac{\pi}{2}\)؟
- لأن \[\begin{gathered}\cos \left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 0\end{gathered}\] ولا يجوز القسمة على صفر.
✍️ أمثلة محلولة
مثال 1: أكمل جدول قيم y = tan x عند \(x = -\dfrac{\pi}{4}\) و 0 و \(\dfrac{\pi}{4}\) و \(\dfrac{\pi}{3}\).
الحل:
\(x = -\dfrac{\pi}{4}\): y = −1
x = 0: y = 0
\(x = \dfrac{\pi}{4}\): y = 1
\(x = \dfrac{\pi}{3}\): \[\begin{gathered}y = \sqrt{3} \approx 1.73\end{gathered}\]
مثال 2: أوجد خطوط التقارب لمنحنى y = tan x على الفترة [−π ، π].
الحل:
\[\begin{gathered}x = \dfrac{\pi}{2} + n\pi \end{gathered}\]
الخطوط \(x = -\dfrac{\pi}{2}\) و \(x = \dfrac{\pi}{2}\)
✍️ أمثلة محلولة
مثال 3: ما دورة y = tan 2x؟
الحل:
دورة tan(bx) هي π ÷ |b|
\(\pi \div 2 = \dfrac{\pi}{2}\)
تذكر: الأخطاء الشائعة: القول إن دورة tan هي 2π؛ نسيان خطوط التقارب.