27 4-6-2 إيجاد الزاوية في الربع المطلوب (0° ≤ θ < 360°)
نوجد الزاوية المرجعية من القيمة المطلقة للنسبة، ثم نعيّن الأرباع حسب الإشارة، ونحسب الزاوية في كل ربع.
- موجبة sin: الربعان الأول والثاني: θ = α أو 180° − α.
- موجبة cos: الأول والرابع: θ = α أو 360° − α.
- موجبة tan: الأول والثالث: θ = α أو 180° + α.
- سالبة sin: الثالث والرابع: \[\begin{gathered}\theta = 180{}^{\circ} + \alpha \end{gathered}\] أو 360° − α.
- سالبة cos: الثاني والثالث: \[\begin{gathered}\theta = 180{}^{\circ} - \alpha \end{gathered}\] أو 180° + α.
- سالبة tan: الثاني والرابع: \[\begin{gathered}\theta = 180{}^{\circ} - \alpha \end{gathered}\] أو 360° − α.
لاحظ: α هي الزاوية المرجعية المحسوبة من القيمة المطلقة للنسبة.
مثال 1: أوجد قيمتي θ حيث 0° ≤ θ < 360° إذا كان \(\sin \theta = \dfrac{1}{2}\).
الحل:
المرجعية α = 30°
sin موجبة فالربعان الأول والثاني.
θ = 30° أو \[\begin{gathered}\theta = 180{}^{\circ} - 30{}^{\circ} = 150{}^{\circ}\end{gathered}\]
مثال 2: أوجد قيمتي θ حيث 0° ≤ θ < 360° إذا كان \[\begin{gathered}\cos \theta = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\end{gathered}\].
الحل:
المرجعية 45°
cos سالبة فالربعان الثاني والثالث.
\[\begin{gathered}\theta = 180{}^{\circ} - 45{}^{\circ} = 135{}^{\circ}\end{gathered}\] أو \[\begin{gathered}\theta = 180{}^{\circ} + 45{}^{\circ} = 225{}^{\circ}\end{gathered}\]
مثال 3: أوجد قيمتي θ حيث 0° ≤ θ < 360° إذا كان tan θ = −1.
الحل:
المرجعية 45°
tan سالبة فالربعان الثاني والرابع.
θ = 135° أو θ = 315°
مثال 4: أوجد قيم θ حيث 0° ≤ θ < 360° إذا كان sin θ = 0.6 (لأقرب جزء من مئة).
الحل:
\[\begin{gathered}\alpha = \sin ^{-1}(0.6) \approx 36.87{}^{\circ}\end{gathered}\]
θ ≈ 36.87° أو \[\begin{gathered}\theta \approx 180{}^{\circ} - 36.87{}^{\circ} = 143.13{}^{\circ}\end{gathered}\]
مثال 5: أوجد قيم θ حيث 0° ≤ θ < 360° إذا كان \[\begin{gathered}\cos \theta = -0.25\end{gathered}\] (لأقرب جزء من مئة).
الحل:
\[\begin{gathered}\alpha = \cos ^{-1}(0.25) \approx 75.52{}^{\circ}\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}\theta \approx 180{}^{\circ} - 75.52{}^{\circ} = 104.48{}^{\circ}\end{gathered}\] أو \[\begin{gathered}\theta \approx 180{}^{\circ} + 75.52{}^{\circ} = 255.52{}^{\circ}\end{gathered}\]
تذكر: الأخطاء الشائعة: الاكتفاء بحل واحد؛ استعمال المرجعية دون تحويلها إلى الربع؛ إدخال الإشارة السالبة في المرجعية.