28 4-6-3 معادلات مثلثية بسيطة
نعزل الدالة المثلثية ثم نحل بالطريقة السابقة.
- نحول المعادلة إلى الصورة sin θ = k أو cos θ = k أو tan θ = k.
- إذا كانت المعادلة من الدرجة الثانية في الدالة المثلثية نحلل أو نستعمل القانون.
- نرفض القيم خارج المدى [−1 ، 1] لـ sin و cos.
لاحظ: نحل في الفترة المعطاة، وإذا لم تُحدد نكتب الحلول العامة (θ + 360° n).
مثال 1: حل المعادلة \[\begin{gathered}2 \sin \theta - \sqrt{3} = 0\end{gathered}\] حيث 0° ≤ θ < 360°.
الحل:
\[\begin{gathered}\sin \theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{gathered}\]
المرجعية 60°
θ = 60° أو θ = 120°
مثال 2: حل المعادلة tan θ = 2 حيث 0° ≤ θ < 360° (لأقرب جزء من مئة).
الحل:
\[\begin{gathered}\alpha = \tan ^{-1}(2) \approx 63.43{}^{\circ}\end{gathered}\]
tan موجبة فالأول والثالث.
θ ≈ 63.43° أو θ ≈ 243.43°
مثال 3: حل المعادلة \[\begin{gathered}2 \sin ^{2} \theta - \sin \theta - 1 = 0\end{gathered}\] حيث 0° ≤ θ < 360°.
الحل:
\[\begin{gathered}(2 \sin \theta + 1)(\sin \theta - 1) = 0\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}\sin \theta = -\dfrac{1}{2}\end{gathered}\] أو sin θ = 1
sin θ = 1 فإن θ = 90°
\[\begin{gathered}\sin \theta = -\dfrac{1}{2}\end{gathered}\] فالمرجعية 30° في الربعين الثالث والرابع: θ = 210° أو 330°
الحل: 90° أو 210° أو 330°
مثال 4: حل المعادلة tan² θ = 3 حيث 0° ≤ θ < 360°.
الحل:
\[\begin{gathered}\tan \theta = \pm \sqrt{3}\end{gathered}\]
tan θ = √3: θ = 60° أو 240°
tan θ = −√3: θ = 120° أو 300°
الحل: 60° و 120° و 240° و 300°
مثال 5: حل المعادلة \[\begin{gathered}2 \cos \theta + 3 = 0\end{gathered}\] حيث 0° ≤ θ < 360°.
الحل:
\[\begin{gathered}\cos \theta = -\dfrac{3}{2}\end{gathered}\]
\(-\dfrac{3}{2}\) < −1 فهي خارج مدى cos.
لا يوجد حل.
تذكر: الأخطاء الشائعة: القسمة على sin θ وفقدان جذور؛ نسيان رفض القيم خارج المدى.