06 4-2-2 القياس الدائري والراديان
القياس الدائري لزاوية مركزية في دائرة هو النسبة بين طول القوس المقابل لها وطول نصف قطر الدائرة، وحدته الراديان.
θ = l ÷ r
- θ القياس الدائري بالراديان، l طول القوس، r نصف القطر.
- الراديان الواحد هو قياس الزاوية المركزية التي تقابل قوسًا طوله يساوي نصف القطر.
- هذه النسبة ثابتة في جميع الدوائر لزاوية مركزية معينة.
- الدورة الكاملة: l = 2πr فالقياس = 2π راديان.
- الراديان قياس عددي بلا وحدة طول، ونكتب rad أو نتركها.
علّل:
- لماذا يكون القياس الدائري ثابتًا لزاوية واحدة مهما تغير نصف القطر؟
- لأن الدوائر متشابهة، فتتناسب أطوال الأقواس مع أنصاف الأقطار فتبقى النسبة l ÷ r ثابتة.
✍️ أمثلة محلولة
مثال 1: زاوية مركزية تقابل قوسًا طوله 15 سم في دائرة نصف قطرها 6 سم. أوجد قياسها الدائري.
الحل:
\[\begin{gathered}\theta = l \div r = 15 \div 6\end{gathered}\]
θ = 2.5 راديان
✍️ أمثلة محلولة
مثال 2: ما القياس الدائري للزاوية المركزية التي تقابل نصف الدائرة؟
الحل:
طول نصف الدائرة l = πr
\[\begin{gathered}\theta = \pi r \div r = \pi \end{gathered}\] راديان
✍️ أمثلة محلولة
مثال 3: زاوية مركزية قياسها 2 راديان في دائرة نصف قطرها 5 سم. أوجد طول القوس المقابل.
الحل:
\[\begin{gathered}l = r\theta = 5 \times 2\end{gathered}\]
l = 10 سم
تذكر: الأخطاء الشائعة: استعمال θ بالدرجات في l = rθ؛ نسيان أن π راديان تساوي 180°.