08 4-2-4 طول القوس في الدائرة
طول القوس l المقابل لزاوية مركزية θ (بالراديان) في دائرة نصف قطرها r هو: l = r × θ.
l = rθ
- إذا كانت الزاوية بالدرجات نحولها أولًا إلى راديان.
- الصيغة بالدرجات: \[\begin{gathered}l = (\theta {}^{\circ} \div 360{}^{\circ}) \times 2\pi r\end{gathered}\].
- يمكن إيجاد θ = l ÷ r أو r = l ÷ θ.
تذكر: يجب أن يكون l و r بوحدة الطول نفسها.
مثال 1: أوجد طول القوس الذي يقابل زاوية مركزية \(\dfrac{\pi}{3}\) في دائرة نصف قطرها 6 سم.
الحل:
\[\begin{gathered}l = r\theta = \dfrac{6 \times \pi}{3}\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}l = 2\pi \approx 6.28\end{gathered}\] سم
مثال 2: أوجد طول القوس الذي يقابل زاوية مركزية 150° في دائرة نصف قطرها 12 سم.
الحل:
\[\begin{gathered}\theta = 150{}^{\circ} \times \pi \div 180 = \dfrac{5\pi}{6}\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}l = \dfrac{12 \times 5\pi}{6}\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}l = 10\pi \approx 31.42\end{gathered}\] سم
مثال 3: عقرب الدقائق في ساعة طوله 14 سم. ما طول القوس الذي تقطعه نهايته في 20 دقيقة؟
الحل:
20 دقيقة = \(\dfrac{1}{3}\) ساعة = \(120{}^{\circ} = \dfrac{2\pi}{3}\) راديان
\[\begin{gathered}l = \dfrac{14 \times 2\pi}{3}\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}l = \dfrac{28\pi}{3} \approx 29.32\end{gathered}\] سم
مثال 4: عجلة نصف قطرها 35 سم تدور أربع دورات كاملة. ما المسافة التي تقطعها؟
الحل:
دورة واحدة = 2πr = 70π سم
أربع دورات = \[\begin{gathered}4 \times 70\pi = 280\pi \end{gathered}\]
≈ 879.6 سم
مثال 5: قوس طوله 8 سم يقابل زاوية مركزية قياسها 2 راديان. أوجد نصف قطر الدائرة.
الحل:
\[\begin{gathered}r = l \div \theta = 8 \div 2\end{gathered}\]
r = 4 سم
تذكر: الأخطاء الشائعة: ترك الزاوية بالدرجات في l = rθ؛ خلط محيط الدائرة مع طول القوس.