الدرس 1-3: العلاقة بين جذري معادلة الدرجة الثانية ومعاملات حدودها

1-3-1 مجموع الجذرين وحاصل ضربهما

إذا كان α و β جذري \[\begin{gathered}\,\text{ax}^{2} + \,\text{bx} + c = 0\end{gathered}\] فإن: \[\begin{gathered}\alpha + \beta = -b \div a\end{gathered}\] و αβ = c ÷ a.

\[\begin{gathered}\alpha + \beta = -b \div a\end{gathered}\]

αβ = c ÷ a

• البرهان: \[\begin{gathered}\alpha = (-b + \sqrt{\Delta}) \div 2a\end{gathered}\] و \[\begin{gathered}\beta = (-b - \sqrt{\Delta}) \div 2a\end{gathered}\].
• بالجمع تلغي ±√Δ بعضها فيبقى \[\begin{gathered}-2b \div 2a = -b \div a\end{gathered}\].
• بالضرب: \[\begin{gathered}(b^{2} - \Delta ) \div 4a^{2} = 4\,\text{ac} \div 4a^{2} = c \div a\end{gathered}\].
• القاعدة تصح للجذور الحقيقية والمركبة.

لاحظ: عند استخدام القاعدتين يجب أن تكون المعادلة في الصورة القياسية \[\begin{gathered}\,\text{ax}^{2} + \,\text{bx} + c = 0\end{gathered}\] أولًا.

a = 2 و b = −6 و c = 3

المجموع = 6 ÷ 2 = 3

حاصل الضرب = \(\dfrac{3}{2}\)

\[\begin{gathered}(x + 7)(x - 2) = 0\end{gathered}\] فالجذران −7 و 2.

مجموعهما = −5 وهو −b ÷ a.

حاصل ضربهما = −14 وهو c ÷ a.

المجموع = \(\dfrac{1}{3}\)

حاصل الضرب = \(\dfrac{4}{3}\)

(الجذران مركبان لأن Δ = 1 − 48 < 0، والقاعدة تصح).

نرتبها: \[\begin{gathered}x^{2} - 5x + 2 = 0\end{gathered}\]

المجموع = 5

حاصل الضرب = 2

تذكر: الأخطاء الشائعة: نسيان الإشارة السالبة في −b ÷ a؛ عدم القسمة على a؛ عدم ترتيب المعادلة قبل التطبيق.

1-3-2 قيمة المقادير المتماثلة في الجذرين

نكتب المقدار المطلوب بدلالة α + β و αβ ثم نعوّض.

\[\begin{gathered}\alpha ^{2} + \beta ^{2} = (\alpha + \beta )^{2} - 2\alpha \beta \end{gathered}\]

\[\begin{gathered}(\alpha - \beta )^{2} = (\alpha + \beta )^{2} - 4\alpha \beta \end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\dfrac{1}{\alpha}+ \dfrac{1}{\beta}= (\alpha + \beta ) \div \alpha \beta \end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\dfrac{\alpha}{\beta}+ \dfrac{\beta}{\alpha}= (\alpha ^{2} + \beta ^{2}) \div \alpha \beta \end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\alpha ^{3} + \beta ^{3} = (\alpha + \beta )^{3} - 3\alpha \beta (\alpha + \beta )\end{gathered}\]

• المقدار المتماثل لا يتغير عند تبديل α و β.
• لا نحتاج حل المعادلة لإيجاد قيمته.

علّل: لماذا لا نحل المعادلة ثم نعوّض؟ لأن الجذور قد تكون غير نسبية أو مركبة، والقاعدة تعطي الناتج مباشرة وبدقة.

α + β = 5 و αβ = 3

\[\begin{gathered}\alpha ^{2} + \beta ^{2} = 25 - 6 = 19\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\dfrac{1}{\alpha}+ \dfrac{1}{\beta}= \dfrac{5}{3}\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}(\alpha - \beta )^{2} = 25 - 12 = 13\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\alpha + \beta = -\dfrac{3}{2}\end{gathered}\] و αβ = −2

\[\begin{gathered}\alpha ^{2} + \beta ^{2} = \dfrac{9}{4} + 4 = \dfrac{25}{4}\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\dfrac{\alpha}{\beta}+ \dfrac{\beta}{\alpha}= \left(\dfrac{25}{4}\right) \div (-2) = -\dfrac{25}{8}\end{gathered}\]

α + β = 6 و αβ = 4

\[\begin{gathered}\alpha ^{3} + \beta ^{3} = 6^{3} - 3 \times 4 \times 6\end{gathered}\]

= 216 − 72

= 144

تذكر:

• الأخطاء الشائعة: كتابة \[\begin{gathered}\alpha ^{2} + \beta ^{2} = (\alpha + \beta )^{2}\end{gathered}\] دون طرح 2αβ؛
• كتابة \[\begin{gathered}\dfrac{1}{\alpha}+ \dfrac{1}{\beta}= \dfrac{1}{\alpha + \beta }\end{gathered}\] وهذا خطأ.

1-3-3 إيجاد معامل مجهول بمعلومية أحد الجذرين

الجذر يحقق المعادلة، فنعوّضه في المعادلة أو نستخدم المجموع وحاصل الضرب.

• إذا كان r جذرًا للمعادلة فإن \[\begin{gathered}\,\text{ar}^{2} + \,\text{br} + c = 0\end{gathered}\].
• بمعرفة جذر والمعاملات نستطيع إيجاد الجذر الآخر من المجموع أو من الضرب.
• في المعادلات ذات المعاملات الحقيقية، إذا كان p + qi جذرًا فمرافقه p − qi جذر آخر.

لاحظ: قد نحتاج معادلتين إذا كان المجهول معاملين، وتأتي من المجموع وحاصل الضرب.

نعوّض x = 2:

\[\begin{gathered}4 - 10 + k = 0\end{gathered}\]

k = 6

الجذر الآخر = 5 − 2 = 3

حاصل الضرب = 12 فالجذر الآخر = 12 ÷ 3 = 4

المجموع = −1 = −a فإن a = 1

الضرب = −6 = b

الجذر الآخر هو المرافق 3 − 2i.

المجموع = 6 = −p فإن p = −6

الضرب = \[\begin{gathered}9 + 4 = 13 = q\end{gathered}\]

تذكر: الأخطاء الشائعة: نسيان أن المجموع = −b ÷ a وليس b ÷ a؛ التعويض في الصورة غير المرتبة؛ إهمال شرط حقيقية المعاملات عند استخدام المرافق.

1-3-4 علاقات خاصة بين الجذرين

نترجم العلاقة بين الجذرين إلى معادلة، ونحلها مع المجموع أو حاصل الضرب.

• أحد الجذرين ضعف الآخر: الجذران α و 2α.
• الجذران متعاكسان جمعيًا (أحدهما سالب الآخر): المجموع = 0 أي b = 0.
• الجذران متعاكسان ضربيًا (مقلوبان): حاصل الضرب = 1 أي c = a.
• الجذران متساويان: Δ = 0.
• الفرق بين الجذرين معلوم: نستخدم \[\begin{gathered}(\alpha - \beta )^{2} = (\alpha + \beta )^{2} - 4\alpha \beta \end{gathered}\].

لاحظ: يجب التحقق في النهاية أن الجذور تحقق شروط المسألة، مثل أن تكون حقيقية إن طُلب ذلك.

الجذران α و 2α.

المجموع: 3α = 9 ومنه α = 3

الضرب: 2α² = k

\[\begin{gathered}k = 2 \times 9 = 18\end{gathered}\]

الجذران 3 و 6.

المجموع = \[\begin{gathered}-(k - 4) = 0\end{gathered}\]

k = 4

المعادلة x² − 9 = 0 وجذراها ±3.

حاصل الضرب = \[\begin{gathered}(k + 1) \div 3 = 1\end{gathered}\]

k + 1 = 3

k = 2

الجذران 4 و 2.

α + β = 3 و α − β = 5

α = 4 و β = −1

k = αβ = −4

تذكر: الأخطاء الشائعة: نسيان أن α − β قد تكون سالبة أو موجبة (نستخدم مربعها); التعويض بالعلاقة في المجموع فقط وإهمال حاصل الضرب.

1-3-5 تكوين المعادلة التربيعية بمعلومية جذريها

المعادلة التي جذراها α و β هي: \[\begin{gathered}x^{2} - (\alpha + \beta )x + \alpha \beta = 0\end{gathered}\].

x² − (مجموع الجذرين)x + (حاصل ضرب الجذرين) = 0

• نحسب المجموع ثم الضرب ثم نكتب القاعدة.
• لإزالة الكسور نضرب المعادلة في المقام المشترك.
• إذا كانت المعاملات حقيقية فالجذور المركبة تأتي أزواجًا مترافقة.

تذكر: المعادلة تحدد بالجذرين حتى ضرب مضاعف؛ نستخدم عادةً الصورة التي معامل x² فيها 1 أو أعداد صحيحة.

المجموع = −2 والضرب = −15

\[\begin{gathered}x^{2} + 2x - 15 = 0\end{gathered}\]

المجموع = 4

الضرب = 4 − 3 = 1

\[\begin{gathered}x^{2} - 4x + 1 = 0\end{gathered}\]

المجموع = \[\begin{gathered}\dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{3} = \dfrac{7}{6}\end{gathered}\]

الضرب = \(\dfrac{1}{3}\)

\[\begin{gathered}x^{2} - \left(\dfrac{7}{6}\right)x + \dfrac{1}{3} = 0\end{gathered}\]

بالضرب في 6:

\[\begin{gathered}6x^{2} - 7x + 2 = 0\end{gathered}\]

المجموع = 6

الضرب = 9 + 4 = 13

\[\begin{gathered}x^{2} - 6x + 13 = 0\end{gathered}\]

تذكر: الأخطاء الشائعة: كتابة +(المجموع) بدل −(المجموع)؛ وضع إشارة الضرب بشكل خاطئ؛ نسيان إزالة الكسور.

1-3-6 تكوين معادلة جذراها مرتبطان بجذري معادلة أخرى

نحسب α + β و αβ من المعادلة المعطاة، ثم نحسب مجموع وضرب الجذرين الجديدين بدلالتهما.

• الجذران الجديدان 2α و 2β: المجموع الجديد 2(α + β) والضرب 4αβ.
• الجذران \(\dfrac{1}{\alpha}\) و \(\dfrac{1}{\beta}\): المجموع (α + β) ÷ αβ والضرب 1 ÷ αβ.
• الجذران α + 1 و β + 1: المجموع (α + β) + 2 والضرب αβ + (α + β) + 1.
• الجذران α² و β²: المجموع (α + β)² − 2αβ والضرب (αβ)².

لاحظ: بعد التكوين يمكن اختبار الجواب بحل المعادلتين الأصلية والجديدة في حالة الجذور البسيطة.

α + β = 3 و αβ = 1

مجموع المربعين = 9 − 2 = 7

ضرب المربعين = 1² = 1

\[\begin{gathered}x^{2} - 7x + 1 = 0\end{gathered}\]

\(\alpha + \beta = \dfrac{5}{2}\) و \(\alpha \beta = -\dfrac{3}{2}\)

المجموع الجديد = \[\begin{gathered}\left(\dfrac{5}{2}\right) \div \left(-\dfrac{3}{2}\right) = -\dfrac{5}{3}\end{gathered}\]

الضرب الجديد = \[\begin{gathered}1 \div \left(-\dfrac{3}{2}\right) = -\dfrac{2}{3}\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}x^{2} + \left(\dfrac{5}{3}\right)x - \dfrac{2}{3} = 0\end{gathered}\]

بالضرب في 3:

\[\begin{gathered}3x^{2} + 5x - 2 = 0\end{gathered}\]

المجموع الجديد = 3 + 2 = 5

الضرب الجديد = \[\begin{gathered}1 + 3 + 1 = 5\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}x^{2} - 5x + 5 = 0\end{gathered}\]

المجموع الجديد = 6

الضرب الجديد = 4 × 1 = 4

\[\begin{gathered}x^{2} - 6x + 4 = 0\end{gathered}\]

تذكر:

• الأخطاء الشائعة: استعمال مجموع الجذور الأصلية كأنه مجموع الجذور الجديدة؛
• خطأ مقام الكسر في \(\dfrac{1}{\alpha}+ \dfrac{1}{\beta}\)؛
• نسيان تربيع الضرب في حالة α² و β².