04 الدرس 1-4: إشارة الدالة
1-4-1 مفهوم إشارة الدالة
إشارة الدالة f عند x هي إشارة قيمتها f(x): موجبة أو سالبة أو صفر.
- f موجبة عند x إذا كان f(x) > 0.
- f سالبة عند x إذا كان f(x) < 0.
- أصفار الدالة هي قيم x التي يكون عندها f(x) = 0.
- نمثل إشارة الدالة على خط الأعداد، فتتغير الإشارة عادةً عند الأصفار.
- في التمثيل البياني: المنحنى فوق محور السينات تعني f موجبة، وتحته تعني f سالبة.
لاحظ: إشارة الدالة تعني بحث أي قيم x تجعل الدالة موجبة وأيها تجعلها سالبة، وليس إيجاد قيمة واحدة.
مثال 1: عيّن إشارة \[\begin{gathered}f(x) = x - 3\end{gathered}\] عند x = 5 و x = 3 و x = 0.
الحل:
f(5) = 2 فالإشارة موجبة
f(3) = 0 فهو صفر للدالة
f(0) = −3 فالإشارة سالبة
مثال 2: هل الدالة \[\begin{gathered}f(x) = x^{2} + 1\end{gathered}\] موجبة دائمًا؟
الحل:
x² ≥ 0 فإن x² + 1 ≥ 1 > 0
نعم، موجبة لكل عدد حقيقي x.
مثال 3: أوجد أصفار الدالة \[\begin{gathered}f(x) = x^{2} - 4x + 3\end{gathered}\].
الحل:
\[\begin{gathered}x^{2} - 4x + 3 = 0\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}(x - 1)(x - 3) = 0\end{gathered}\]
الأصفار: x = 1 و x = 3
تذكر: الأخطاء الشائعة: الخلط بين الصفر (f(x) = 0) والإشارة السالبة؛ فحص إشارة الدالة عند نقطة واحدة وتعميمها على كل المجال.
1-4-2 إشارة الدالة الخطية
للدالة \[\begin{gathered}f(x) = \,\text{ax} + b\end{gathered}\] صفر وحيد x = −b ÷ a، وإشارتها بعد الصفر هي إشارة a وقبله عكس إشارة a.
- إذا كان a > 0 فالدالة سالبة عن يسار الصفر وموجبة عن يمينه.
- إذا كان a < 0 فالدالة موجبة عن يسار الصفر وسالبة عن يمينه.
- نرسم خط الأعداد ونحدد الصفر ثم نكتب الإشارة على كل جهة.
علّل: لماذا تتغير الإشارة عند الصفر؟ لأن الدالة الخطية متصلة ومطردة، فتمر بالصفر مرة واحدة فتتبدل من سالبة إلى موجبة أو العكس.
مثال 1: عيّن إشارة \[\begin{gathered}f(x) = 3x - 6\end{gathered}\].
الحل:
الصفر: 3x = 6 ومنه x = 2
a = 3 > 0
f(x) < 0 عندما x < 2
f(x) > 0 عندما x > 2
مثال 2: عيّن إشارة \[\begin{gathered}f(x) = 4 - 2x\end{gathered}\].
الحل:
الصفر: x = 2
a = −2 < 0
f(x) > 0 عندما x < 2
f(x) < 0 عندما x > 2
مثال 3: عيّن إشارة \[\begin{gathered}f(x) = -x - 5\end{gathered}\].
الحل:
الصفر: x = −5
a = −1 < 0
f(x) > 0 عندما x < −5
f(x) < 0 عندما x > −5
تذكر: الأخطاء الشائعة: عكس الإشارة عند معامل x السالب؛ حساب الصفر بإشارة خاطئة \[\begin{gathered}(x = -b \div a)\end{gathered}\].
1-4-3 إشارة الدالة التربيعية ذات الصفرين الحقيقيين المختلفين
إذا كان Δ > 0 وصفرا الدالة α < β فإشارة \[\begin{gathered}f(x) = \,\text{ax}^{2} + \,\text{bx} + c\end{gathered}\] هي إشارة a خارج الصفرين وعكس إشارة a بين الصفرين.
- نحلل أو نستخدم القانون لإيجاد الصفرين α و β.
- نرسم خط الأعداد ونكتب الصفرين.
- خارج الفترة [α ، β] الإشارة مثل إشارة a.
- داخل الفترة ]α ، β[ الإشارة عكس إشارة a.
لاحظ: يوافق ذلك رسم القطع المكافئ: إذا كان a > 0 فالفرعان لأعلى والمنحنى تحت المحور بين الصفرين وفوقه خارجهما.
مثال 1: عيّن إشارة \[\begin{gathered}f(x) = x^{2} - 5x + 6\end{gathered}\].
الحل:
\[\begin{gathered}(x - 2)(x - 3) = 0\end{gathered}\] فالصفران 2 و 3.
a = 1 > 0
f(x) > 0 عندما x < 2 أو x > 3
f(x) < 0 عندما 2 < x < 3
مثال 2: عيّن إشارة \[\begin{gathered}f(x) = -x^{2} + 4x - 3\end{gathered}\].
الحل:
\[\begin{gathered}-(x^{2} - 4x + 3) = -(x - 1)(x - 3)\end{gathered}\]
الصفران 1 و 3 و a = −1 < 0
f(x) < 0 عندما x < 1 أو x > 3
f(x) > 0 عندما 1 < x < 3
مثال 3: عيّن إشارة \[\begin{gathered}f(x) = 2x^{2} - x - 3\end{gathered}\].
الحل:
\[\begin{gathered}(2x - 3)(x + 1) = 0\end{gathered}\]
الصفران −1 و \(\dfrac{3}{2}\)
a = 2 > 0
f(x) > 0 عندما x < −1 أو x > \(\dfrac{3}{2}\)
f(x) < 0 عندما −1 < x < \(\dfrac{3}{2}\)
مثال 4: عيّن إشارة \[\begin{gathered}f(x) = x^{2} - 9\end{gathered}\].
الحل:
\[\begin{gathered}(x - 3)(x + 3) = 0\end{gathered}\]
الصفران −3 و 3 و a > 0
f(x) > 0 عندما x < −3 أو x > 3
f(x) < 0 عندما −3 < x < 3
تذكر:
- الأخطاء الشائعة: ترتيب الصفرين بشكل خاطئ على خط الأعداد؛
- نسيان مراعاة إشارة a عند استخراج عامل سالب؛
- تعميم إشارة واحدة على المجال كله.
1-4-4 إشارة الدالة التربيعية عندما Δ ≤ 0
إذا كان Δ = 0 فالدالة لها صفر وحيد وإشارتها مثل إشارة a في كل مكان عدا الصفر، وإذا كان Δ < 0 فإشارتها إشارة a لكل قيم x.
- Δ = 0: \[\begin{gathered}\,\text{ax}^{2} + \,\text{bx} + c = a(x - r)^{2}\end{gathered}\] حيث r = −b ÷ 2a.
- Δ < 0: لا أصفار حقيقية، والمنحنى لا يلمس المحور.
- المقدار a(x − r)² + q حيث q له إشارة a يكون ثابت الإشارة.
علّل: لماذا تكون x² + x + 1 موجبة دائمًا؟ لأن Δ = −3 < 0 و a = 1 > 0، فالمنحنى فوق المحور بالكامل.
مثال 1: عيّن إشارة \[\begin{gathered}f(x) = x^{2} - 6x + 9\end{gathered}\].
الحل:
\[\begin{gathered}\Delta = 36 - 36 = 0\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}f(x) = (x - 3)^{2} \ge 0\end{gathered}\]
f(x) = 0 عند x = 3
f(x) > 0 لكل x ≠ 3
مثال 2: عيّن إشارة \[\begin{gathered}f(x) = -x^{2} + 4x - 4\end{gathered}\].
الحل:
\[\begin{gathered}f(x) = -(x - 2)^{2}\end{gathered}\]
f(x) = 0 عند x = 2
f(x) < 0 لكل x ≠ 2
مثال 3: عيّن إشارة \[\begin{gathered}f(x) = x^{2} - 4x + 7\end{gathered}\].
الحل:
\[\begin{gathered}\Delta = 16 - 28 = -12\end{gathered}\] < 0
a = 1 > 0
الدالة موجبة لكل x.
مثال 4: عيّن إشارة \[\begin{gathered}f(x) = -2x^{2} + 3x - 5\end{gathered}\].
الحل:
\[\begin{gathered}\Delta = 9 - 40 = -31\end{gathered}\] < 0
a = −2 < 0
الدالة سالبة لكل x.
تذكر: الأخطاء الشائعة: اعتبار الدالة ذات Δ < 0 تغيّر إشارتها؛ نسيان أن الصفر موجود عندما Δ = 0.
1-4-5 إشارة الدالة من التمثيل البياني
نقرأ إشارة الدالة من موضع المنحنى بالنسبة لمحور السينات.
- نقاط تقاطع المنحنى مع محور السينات هي أصفار الدالة.
- أجزاء المنحنى فوق المحور تمثل مجالات الإشارة الموجبة.
- أجزاء المنحنى تحت المحور تمثل مجالات الإشارة السالبة.
- إذا مسّ المنحنى المحور فقط عند نقطة، فالصفر مكرر ولا تتغير الإشارة.
لاحظ: يمكن أيضًا استنتاج إشارة a من اتجاه فتحة القطع: لأعلى a > 0 ولأسفل a < 0.
مثال 1: قطع مكافئ مفتوح لأعلى يقطع محور السينات عند −1 و 4. عيّن إشارة الدالة.
الحل:
الصفران −1 و 4.
الدالة موجبة عندما x < −1 أو x > 4.
الدالة سالبة عندما −1 < x < 4.
مثال 2: قطع مكافئ مفتوح لأسفل رأسه (2 ، 0) أي يمس محور السينات عند 2. عيّن الإشارة.
الحل:
الدالة صفر عند x = 2.
المنحنى تحت المحور في بقية النقاط.
الدالة سالبة لكل x ≠ 2.
مثال 3: قطع مكافئ مفتوح لأعلى لا يقطع محور السينات. ما إشارة الدالة؟
الحل:
المنحنى فوق المحور بالكامل.
الدالة موجبة لكل x ∈ ℝ.
تذكر: الأخطاء الشائعة: الخلط بين الصفر والقيمة العظمى أو الصغرى؛ اعتبار نقطة المماس نقطة تغيّر إشارة.