01 الدرس 4-1: الزاوية الموجهة
4-1-1 تعريف الزاوية الموجهة
الزاوية الموجهة هي زاوية تتولد بدوران شعاع حول نقطة ثابتة من وضع ابتدائي إلى وضع نهائي.
- النقطة الثابتة هي رأس الزاوية.
- الشعاع في بدء الدوران هو الضلع الابتدائي، وفي نهايته هو الضلع النهائي.
- الدوران عكس اتجاه عقارب الساعة يعطي زاوية موجبة.
- الدوران في اتجاه عقارب الساعة يعطي زاوية سالبة.
- قد يدور الشعاع أكثر من دورة كاملة فيتجاوز القياس 360°.
لاحظ: الزاوية الموجهة لها قياس مع إشارة، وقد تكون أكبر من 360° أو سالبة، بخلاف الزاوية الهندسية العادية التي لا تتجاوز 180°.
تذكر: الدورة الكاملة عكس عقارب الساعة = +360° وفي اتجاه عقارب الساعة = −360°.
مثال 1: حدّد إشارة الزاوية الناتجة عن دوران شعاع ربع دورة في اتجاه عقارب الساعة، واكتب قياسها.
الحل:
الدوران في اتجاه عقارب الساعة فالزاوية سالبة.
ربع دورة = \[\begin{gathered}360{}^{\circ} \div 4 = 90{}^{\circ}\end{gathered}\]
القياس = −90°
مثال 2: ما قياس الزاوية الناتجة عن دوران شعاع دورة ونصف عكس اتجاه عقارب الساعة؟
الحل:
دورة كاملة = 360°
نصف دورة = 180°
القياس = \[\begin{gathered}360{}^{\circ} + 180{}^{\circ} = 540{}^{\circ}\end{gathered}\] (موجبة)
مثال 3: شعاع دار \(\dfrac{3}{4}\) دورة في اتجاه عقارب الساعة. أوجد قياس الزاوية.
الحل:
\[\begin{gathered}\dfrac{3}{4} \times 360{}^{\circ} = 270{}^{\circ}\end{gathered}\]
الدوران مع عقارب الساعة فالقياس = −270°
تذكر: الأخطاء الشائعة: اعتبار كل زاوية موجبة؛ الخلط بين اتجاه الدوران والإشارة؛ نسيان إضافة الدورات الكاملة.
4-1-2 الوضع القياسي وأرباع المحاور
تكون الزاوية الموجهة في الوضع القياسي إذا كان رأسها عند نقطة الأصل وضلعها الابتدائي ينطبق على الاتجاه الموجب لمحور السينات.
- ربع المحاور الأول: الزوايا بين 0° و 90°.
- الربع الثاني: بين 90° و 180°.
- الربع الثالث: بين 180° و 270°.
- الربع الرابع: بين 270° و 360°.
- إذا وقع الضلع النهائي على أحد المحورين فالزاوية ربعية: 0° و 90° و 180° و 270° و 360°.
- نعيّن الربع بإيجاد الزاوية المكافئة بين 0° و 360° أولًا.
لاحظ: الزاوية الربعية لا تنتمي إلى أي ربع.
مثال 1: عيّن الربع الذي تقع فيه كل من الزوايا الموجهة في الوضع القياسي: 130° ، 250° ، 310°.
الحل:
130° بين 90° و 180° فهي في الربع الثاني.
250° بين 180° و 270° فهي في الربع الثالث.
310° بين 270° و 360° فهي في الربع الرابع.
مثال 2: عيّن الربع الذي تقع فيه الزاوية −50°.
الحل:
\[\begin{gathered}-50{}^{\circ} + 360{}^{\circ} = 310{}^{\circ}\end{gathered}\]
310° في الربع الرابع.
إذن الزاوية −50° تقع في الربع الرابع.
مثال 3: عيّن الربع الذي تقع فيه الزاوية 400°.
الحل:
\[\begin{gathered}400{}^{\circ} - 360{}^{\circ} = 40{}^{\circ}\end{gathered}\]
40° في الربع الأول.
مثال 4: هل الزاوية 540° ربعية؟
الحل:
\[\begin{gathered}540{}^{\circ} - 360{}^{\circ} = 180{}^{\circ}\end{gathered}\]
الضلع النهائي ينطبق على الاتجاه السالب لمحور السينات.
نعم، هي زاوية ربعية (مكافئة للزاوية 180°).
تذكر: الأخطاء الشائعة: وضع الزاوية 90° في الربع الأول؛ نسيان تحويل الزاوية السالبة أو الكبيرة قبل تعيين الربع.
4-1-3 الزوايا المتكافئة
تكون زاويتان موجهتان في الوضع القياسي متكافئتين إذا انطبق ضلعاهما النهائيان، والقياسات المكافئة للزاوية θ هي θ + 360° × n حيث n عدد صحيح.
θ + 360° n
- نضيف 360° أو نطرحها لنحصل على قياسات مكافئة.
- الفرق بين قياسي زاويتين متكافئتين مضاعف للعدد 360°.
- أصغر قياس موجب للزاوية: نضيف أو نطرح 360° حتى نحصل على قياس بين 0° و 360°.
- قياس سالب مكافئ: نطرح 360° من القياس الموجب.
علّل: لماذا يوجد عدد لا نهائي من القياسات المكافئة؟ لأن كل دورة كاملة إضافية (أو ناقصة) تعيد الضلع النهائي إلى الوضع نفسه.
مثال 1: اكتب ثلاثة قياسات مكافئة للزاوية 50°.
الحل:
\[\begin{gathered}50{}^{\circ} + 360{}^{\circ} = 410{}^{\circ}\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}50{}^{\circ} + 720{}^{\circ} = 770{}^{\circ}\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}50{}^{\circ} - 360{}^{\circ} = -310{}^{\circ}\end{gathered}\]
مثال 2: أوجد أصغر قياس موجب للزاوية −70°.
الحل:
\[\begin{gathered}-70{}^{\circ} + 360{}^{\circ} = 290{}^{\circ}\end{gathered}\]
مثال 3: أوجد أصغر قياس موجب للزاوية 850°.
الحل:
\[\begin{gathered}850{}^{\circ} - 360{}^{\circ} = 490{}^{\circ}\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}490{}^{\circ} - 360{}^{\circ} = 130{}^{\circ}\end{gathered}\]
أو \[\begin{gathered}850{}^{\circ} - 720{}^{\circ} = 130{}^{\circ}\end{gathered}\]
مثال 4: أوجد أصغر قياس موجب للزاوية −400°.
الحل:
\[\begin{gathered}-400{}^{\circ} + 360{}^{\circ} = -40{}^{\circ}\end{gathered}\] (ما زال سالبًا)
\[\begin{gathered}-40{}^{\circ} + 360{}^{\circ} = 320{}^{\circ}\end{gathered}\]
أو \[\begin{gathered}-400{}^{\circ} + 720{}^{\circ} = 320{}^{\circ}\end{gathered}\]
مثال 5: هل الزاويتان 75° و −285° متكافئتان؟ وهل 100° و 200° متكافئتان؟
الحل:
\[\begin{gathered}75{}^{\circ} - (-285{}^{\circ}) = 360{}^{\circ}\end{gathered}\] وهو مضاعف للعدد 360° فالزاويتان متكافئتان.
\[\begin{gathered}200{}^{\circ} - 100{}^{\circ} = 100{}^{\circ}\end{gathered}\] ليس مضاعفًا لـ 360° فالزاويتان غير متكافئتين.
تذكر: الأخطاء الشائعة: إضافة 180° بدل 360°؛ التوقف عند قياس سالب عند طلب أصغر قياس موجب.
4-1-4 إيجاد قياس الزاوية الموجهة من الشكل ومن الدورات
نحدد قياس الزاوية من موضع الضلع النهائي بالنسبة للمحاور، أو من عدد الدورات والجزء الباقي.
- الضلع النهائي على الاتجاه الموجب لمحور الصادات: 90°.
- على الاتجاه السالب لمحور السينات: 180°.
- على الاتجاه السالب لمحور الصادات: 270° (أو −90°).
- الزاوية المطلوبة قد تكون السالبة المكافئة لما نقرؤه عكس عقارب الساعة.
لاحظ: نقرأ القياس الموجب عكس العقارب، ثم نحدد القياس السالب بطرح 360° عند الحاجة.
مثال 1: ضلعها النهائي ينطبق على الاتجاه السالب لمحور الصادات. اكتب قياسًا موجبًا وقياسًا سالبًا لها.
الحل:
القياس الموجب: 270°
القياس السالب: \[\begin{gathered}270{}^{\circ} - 360{}^{\circ} = -90{}^{\circ}\end{gathered}\]
مثال 2: دار شعاع دورتين وربعًا عكس عقارب الساعة. ما قياس الزاوية وأين يقع ضلعها النهائي؟
الحل:
القياس = \[\begin{gathered}2 \times 360{}^{\circ} + 90{}^{\circ} = 810{}^{\circ}\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}810{}^{\circ} - 720{}^{\circ} = 90{}^{\circ}\end{gathered}\]
الضلع النهائي ينطبق على الاتجاه الموجب لمحور الصادات.
مثال 3: عيّن الربع الذي تقع فيه الزاوية −740°.
الحل:
\[\begin{gathered}-740{}^{\circ} + 720{}^{\circ} = -20{}^{\circ}\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}-20{}^{\circ} + 360{}^{\circ} = 340{}^{\circ}\end{gathered}\]
340° في الربع الرابع.
تذكر: الأخطاء الشائعة: خلط الاتجاه الموجب لمحور الصادات (90°) مع السالب (270°)؛ نسيان إضافة الدورات الكاملة.