02 الدرس 4-2: القياس الستيني والقياس الدائري لزاوية
4-2-1 القياس الستيني: الدرجات والدقائق والثواني
في القياس الستيني تُقسم الدرجة الواحدة إلى 60 دقيقة والدقيقة إلى 60 ثانية.
1° = 60′
1′ = 60″
1° = 3600″
- ندوّن القياس على الصورة 37° 15′ 20″.
- لتحويل الدقائق والثواني إلى جزء من الدرجة نقسم الدقائق على 60 والثواني على 3600.
- لتحويل الكسر العشري للدرجة إلى دقائق نضرب في 60، والباقي العشري للدقائق إلى ثوان نضربه في 60.
تذكر: نقرأ ′ دقيقة و ″ ثانية، ولا نخلطها مع علامة الفاصلة العليا.
مثال 1: حوّل 25.5° إلى درجات ودقائق.
الحل:
\[\begin{gathered}0.5 \times 60 = 30'\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}25.5{}^{\circ} = 25{}^{\circ} 30'\end{gathered}\]
مثال 2: حوّل 37° 15′ إلى درجات عشرية.
الحل:
\[\begin{gathered}15' = 15 \div 60 = 0.25{}^{\circ}\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}37{}^{\circ} 15' = 37.25{}^{\circ}\end{gathered}\]
مثال 3: حوّل 45.76° إلى درجات ودقائق وثوانٍ.
الحل:
\[\begin{gathered}0.76 \times 60 = 45.6'\end{gathered}\] ومنه 45′
\[\begin{gathered}0.6 \times 60 = 36''\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}45.76{}^{\circ} = 45{}^{\circ} 45' 36''\end{gathered}\]
مثال 4: حوّل 12° 20′ 30″ إلى درجات عشرية.
الحل:
\[\begin{gathered}20' = 20 \div 60 = 0.3333{}^{\circ}\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}30'' = 30 \div 3600 = 0.00833{}^{\circ}\end{gathered}\]
القياس = \[\begin{gathered}12 + 0.3333 + 0.00833 \approx 12.3417{}^{\circ}\end{gathered}\]
تذكر: الأخطاء الشائعة: القسمة على 100 بدل 60؛ كتابة 0.5° على أنها 50′.
4-2-2 القياس الدائري والراديان
القياس الدائري لزاوية مركزية في دائرة هو النسبة بين طول القوس المقابل لها وطول نصف قطر الدائرة، وحدته الراديان.
θ = l ÷ r
- θ القياس الدائري بالراديان، l طول القوس، r نصف القطر.
- الراديان الواحد هو قياس الزاوية المركزية التي تقابل قوسًا طوله يساوي نصف القطر.
- هذه النسبة ثابتة في جميع الدوائر لزاوية مركزية معينة.
- الدورة الكاملة: l = 2πr فالقياس = 2π راديان.
- الراديان قياس عددي بلا وحدة طول، ونكتب rad أو نتركها.
علّل:
- لماذا يكون القياس الدائري ثابتًا لزاوية واحدة مهما تغير نصف القطر؟
- لأن الدوائر متشابهة، فتتناسب أطوال الأقواس مع أنصاف الأقطار فتبقى النسبة l ÷ r ثابتة.
مثال 1: زاوية مركزية تقابل قوسًا طوله 15 سم في دائرة نصف قطرها 6 سم. أوجد قياسها الدائري.
الحل:
\[\begin{gathered}\theta = l \div r = 15 \div 6\end{gathered}\]
θ = 2.5 راديان
مثال 2: ما القياس الدائري للزاوية المركزية التي تقابل نصف الدائرة؟
الحل:
طول نصف الدائرة l = πr
\[\begin{gathered}\theta = \pi r \div r = \pi \end{gathered}\] راديان
مثال 3: زاوية مركزية قياسها 2 راديان في دائرة نصف قطرها 5 سم. أوجد طول القوس المقابل.
الحل:
\[\begin{gathered}l = r\theta = 5 \times 2\end{gathered}\]
l = 10 سم
تذكر: الأخطاء الشائعة: استعمال θ بالدرجات في l = rθ؛ نسيان أن π راديان تساوي 180°.
4-2-3 التحويل بين الدرجات والراديان
π راديان = 180°، ومنه: \[\begin{gathered}1{}^{\circ} = \pi \div 180\end{gathered}\] راديان و 1 راديان = \[\begin{gathered}180{}^{\circ} \div \pi \approx 57.3{}^{\circ}\end{gathered}\].
الراديان = الدرجات × π ÷ 180
الدرجات = الراديان × 180 ÷ π
- لتحويل الدرجات إلى راديان نضرب في π ÷ 180.
- لتحويل الراديان إلى درجات نضرب في 180 ÷ π.
- نترك π في الجواب إن أمكن، أو نعوّض π ≈ 3.14 عند طلب تقريب.
لاحظ:
- القيم المهمة: \(30{}^{\circ} = \dfrac{\pi}{6}\) و \(45{}^{\circ} = \dfrac{\pi}{4}\) و \(60{}^{\circ} = \dfrac{\pi}{3}\) و \(90{}^{\circ} = \dfrac{\pi}{2}\) و 180° = π و \(270{}^{\circ} = \dfrac{3\pi}{2}\) و 360° = 2π.
مثال 1: حوّل إلى راديان: 60° و 135° و 225°.
الحل:
\[\begin{gathered}60{}^{\circ} = 60 \times \pi \div 180 = \dfrac{\pi}{3}\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}135{}^{\circ} = 135\pi \div 180 = \dfrac{3\pi}{4}\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}225{}^{\circ} = 225\pi \div 180 = \dfrac{5\pi}{4}\end{gathered}\]
مثال 2: حوّل إلى درجات: \(\dfrac{\pi}{6}\) و \(\dfrac{5\pi}{12}\) و \(\dfrac{3\pi}{2}\).
الحل:
\[\begin{gathered}\dfrac{\pi}{6} = 180{}^{\circ} \div 6 = 30{}^{\circ}\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}\dfrac{5\pi}{12} = 5 \times 180{}^{\circ} \div 12 = 75{}^{\circ}\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}\dfrac{3\pi}{2} = 3 \times 90{}^{\circ} = 270{}^{\circ}\end{gathered}\]
مثال 3: حوّل 2 راديان إلى درجات (لأقرب جزء من مئة).
الحل:
2 × 180° ÷ π
= 360° ÷ 3.14159...
≈ 114.59°
مثال 4: حوّل 37.5° إلى راديان.
الحل:
37.5 × π ÷ 180
= 5π ÷ 24
≈ 0.6545 راديان
تذكر: الأخطاء الشائعة: الضرب في π ÷ 180 عند التحويل من الراديان؛ استعمال π = 180 مباشرة داخل العمليات الأخرى.
4-2-4 طول القوس في الدائرة
طول القوس l المقابل لزاوية مركزية θ (بالراديان) في دائرة نصف قطرها r هو: l = r × θ.
l = rθ
- إذا كانت الزاوية بالدرجات نحولها أولًا إلى راديان.
- الصيغة بالدرجات: \[\begin{gathered}l = (\theta {}^{\circ} \div 360{}^{\circ}) \times 2\pi r\end{gathered}\].
- يمكن إيجاد θ = l ÷ r أو r = l ÷ θ.
تذكر: يجب أن يكون l و r بوحدة الطول نفسها.
مثال 1: أوجد طول القوس الذي يقابل زاوية مركزية \(\dfrac{\pi}{3}\) في دائرة نصف قطرها 6 سم.
الحل:
\[\begin{gathered}l = r\theta = \dfrac{6 \times \pi}{3}\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}l = 2\pi \approx 6.28\end{gathered}\] سم
مثال 2: أوجد طول القوس الذي يقابل زاوية مركزية 150° في دائرة نصف قطرها 12 سم.
الحل:
\[\begin{gathered}\theta = 150{}^{\circ} \times \pi \div 180 = \dfrac{5\pi}{6}\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}l = \dfrac{12 \times 5\pi}{6}\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}l = 10\pi \approx 31.42\end{gathered}\] سم
مثال 3: عقرب الدقائق في ساعة طوله 14 سم. ما طول القوس الذي تقطعه نهايته في 20 دقيقة؟
الحل:
20 دقيقة = \(\dfrac{1}{3}\) ساعة = \(120{}^{\circ} = \dfrac{2\pi}{3}\) راديان
\[\begin{gathered}l = \dfrac{14 \times 2\pi}{3}\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}l = \dfrac{28\pi}{3} \approx 29.32\end{gathered}\] سم
مثال 4: عجلة نصف قطرها 35 سم تدور أربع دورات كاملة. ما المسافة التي تقطعها؟
الحل:
دورة واحدة = 2πr = 70π سم
أربع دورات = \[\begin{gathered}4 \times 70\pi = 280\pi \end{gathered}\]
≈ 879.6 سم
مثال 5: قوس طوله 8 سم يقابل زاوية مركزية قياسها 2 راديان. أوجد نصف قطر الدائرة.
الحل:
\[\begin{gathered}r = l \div \theta = 8 \div 2\end{gathered}\]
r = 4 سم
تذكر: الأخطاء الشائعة: ترك الزاوية بالدرجات في l = rθ؛ خلط محيط الدائرة مع طول القوس.