06 الدرس الرابع: قانون نيوتن الثاني
4-1 نص القانون
- عرفنا من قانون نيوتن الأول أن الجسم الذي لا تؤثر عليه قوة محصلة لا يتحرك بعجلة.
- وهذا يقودنا إلى أن الجسم الذي تؤثر عليه قوة خارجية محصلة (ΣF ≠ 0) تتغير سرعته ويكتسب عجلة (a ≠ 0).
- وقد حدد نيوتن العوامل التي تتوقف عليها هذه العجلة من خلال قانونه الثاني.
قانون نيوتن الثاني للحركة: القوة المحصلة المؤثرة على جسم ما تساوي المعدل الزمني للتغير في كمية تحرك هذا الجسم.
\[\begin{gathered}\Sigma F = \dfrac{\Delta p}{\Delta t} = \dfrac{m v_{2} - m v_{1}}{\Delta t}\end{gathered}\]
وإذا كانت كتلة الجسم ثابتة:
\[\begin{gathered}\Sigma F = \dfrac{m (v_{2} - v_{1})}{\Delta t} = \dfrac{m \Delta v}{\Delta t}\end{gathered}\]
ومن تعريف العجلة \(a = \dfrac{\Delta v}{\Delta t}\) نحصل على:
ΣF = m a أو \(a = \dfrac{\Sigma F}{m}\)
4-2 صيغة أخرى للقانون
إذا أثرت قوة محصلة على جسم أكسبته عجلة تتناسب طرديًا مع القوة المؤثرة وعكسيًا مع كتلته، وفي اتجاه القوة.
- كتلة ثابتة وقوة أكبر ← عجلة أكبر.
- قوة ثابتة وكتلة أكبر ← عجلة أقل.
التمثيل البياني:
- العلاقة بين العجلة (a) والقوة (F) لجسم كتلته ثابتة خط مستقيم يمر بنقطة الأصل ميله = \(\dfrac{1}{m}\).
- وللجسم ذي الكتلة الأقل (مثلًا 100 kg) ميل أكبر من ميل الجسم ذي الكتلة الأكبر (200 kg)، أي أنه يكتسب عجلة أكبر إذا أثرت فيهما القوة نفسها.
أما العلاقة البيانية بين العجلة والكتلة عند ثبوت القوة فهي منحنى متناقص (قطع زائد)، لأن \(a = \dfrac{F}{m}\).
4-3 تعريف النيوتن
من العلاقة F = ma: النيوتن هو مقدار القوة التي إذا أثرت على جسم كتلته 1 kg أكسبته عجلة مقدارها \(1 m/s^{2}\).
\[\begin{gathered}1 N = \dfrac{1 \,\text{kg}\cdot m}{s^{2}}\end{gathered}\]
وصيغة أبعاد القوة: MLT⁻².
4-4 تدريب تفكير
- تؤثر قوة مقدارها F في مكعب خشبي فتكسبه عجلة معلومة، وعندما تؤثر القوة نفسها في مكعب آخر فيكتسب عجلة تعادل ضعفي الأولى.
- بما أن \(a = \dfrac{F}{m}\) والقوة ثابتة ← \(\dfrac{a \propto 1}{m}\)، فكتلة المكعب الثاني هي نصف كتلة الأول.
4-5 أمثلة محلولة
مثال 1 (F = ma): سيارة كتلتها 900 kg تتحرك بعجلة منتظمة \(3 m/s^{2}\). القوة المحصلة = 900 × 3 = 2700 N.
- مثال 2 (الكتلة): قوة محصلة مقدارها 60 N أكسبت جسمًا عجلة \[\begin{gathered}4 m/s^{2}.
- m = F \div a = 60 \div 4 =\;\color{#15803d}{\mathbf{15 \,\text{kg}}}\end{gathered}\].
- مثال 3 (القوة المحصلة مع الاحتكاك): صندوق كتلته 40 kg يُدفع بقوة 180 N بينما يقاوم الاحتكاك حركته بقوة \[\begin{gathered}100 N.
- \Sigma F = 180 - 100 = 80 N\end{gathered}\] ؛
- \[\begin{gathered}a = 80 \div 40 =\;\color{#15803d}{\mathbf{2 m/s^{2}}}\end{gathered}\].
- مثال 4 (من التغير في كمية التحرك): جسم كتلته 3 kg تتغير سرعته من \(2 m/s\) إلى \(14 m/s\) خلال \[\begin{gathered}6 s.
- \Delta p = 3 \times (14 - 2) = \dfrac{36 \,\text{kg}\cdot m}{s}\end{gathered}\] ؛
- \[\begin{gathered}F = 36 \div 6 =\;\color{#15803d}{\mathbf{6 N}}\end{gathered}\].
- (تحقق: \[\begin{gathered}a = 12 \div 6 = 2 m/s^{2}\end{gathered}\] ؛
- \[\begin{gathered}F = 3 \times 2 = 6 N.\end{gathered}\])
- مثال 5 (السرعة بعد زمن): عربة كتلتها 4 kg ساكنة تُسحب بقوة محصلة 12 N لمدة \[\begin{gathered}5 s.
- a = 12 \div 4 = 3 m/s^{2}\end{gathered}\] ؛
- \[\begin{gathered}v = a t = 3 \times 5 =\;\color{#15803d}{\mathbf{15 m/s}}\end{gathered}\].
- مثال 6 (من الرسم): في رسم (العجلة – القوة) لجسم مر الخط بالنقطة (20 N ، \(4 m/s^{2}\)).
- الميل = \[\begin{gathered}4 \div 20 = 0.2 = \dfrac{1}{m}\end{gathered}\] ← الكتلة = 5 kg.
4-6 تفسير ظواهر حياتية: القوة والزمن والتغير في كمية التحرك
- من العلاقة \[\begin{gathered}F = \dfrac{\Delta (\,\text{mv})}{\Delta t}\end{gathered}\] نجد أن القوة المؤثرة على الجسم تزداد بزيادة كتلته والتغير في سرعته، وتقل بزيادة زمن التغير.
- (أي \[\begin{gathered}F \times \Delta t = \Delta (\,\text{mv})\end{gathered}\]، ويسمى حاصل الضرب F × Δt بالدفع.)
- إذا حدث التغير في كمية التحرك في فترة زمنية أطول كان تأثير قوة التصادم أقل.
- وإذا حدث في فترة زمنية قصيرة كان تأثير قوة التصادم أكبر.
وبذلك نفسر:
- اصطدام سيارة بحائط أكثر تدميرًا من اصطدامها بكومة من القش: الحائط يوقفها في زمن قصير جدًا (قوة كبيرة)، أما القش فيطيل زمن التوقف (قوة أصغر).
- إذا سقط شخص من مكان مرتفع في الماء فإنه لا يتأذى، بينما إذا سقط على الأرض قد يتأذى: الماء يزيد زمن توقفه.
- تزداد حدة الإصابة بزيادة الارتفاع الذي يسقط منه الشخص: لأن سرعته (وبالتالي كمية تحركه) عند الاصطدام تزداد.
- إذا سقطت بيضة على وسادة لا تنكسر، وتنكسر إذا سقطت على الأرض.
- اصطدام شاحنة كبيرة بحائط أكثر تدميرًا من اصطدام شاحنة صغيرة: كتلة أكبر ← كمية تحرك أكبر ← قوة أكبر لزمن التوقف نفسه.
- الوسادة الهوائية في السيارات تزيد زمن توقف جسم السائق عند التصادم فتقلل القوة المؤثرة عليه. ولهذا السبب أيضًا يسحب حارس المرمى يديه للخلف عند استقبال كرة سريعة.
مثال 7 (عددي): كرة كتلتها 0.2 kg تتحرك بسرعة \(25 m/s\) تُمسَك وتتوقف.
- إذا توقفت في 0.02 s (يدان صلبتان): \[\begin{gathered}F = 0.2 \times 25 \div 0.02 =\;\color{#15803d}{\mathbf{250 N}}\end{gathered}\].
- إذا توقفت في 0.20 s (سحب اليدين للخلف): \[\begin{gathered}F = 0.2 \times 25 \div 0.20 =\;\color{#15803d}{\mathbf{25 N}}\end{gathered}\]، أي أقل بعشر مرات.
- مثال 8 (الوسادة الهوائية): سائق كتلته 60 kg يتحرك بسرعة \(20 m/s\) ويتوقف في 0.04 s بالمقود الصلب: \[\begin{gathered}F = 60 \times 20 \div 0.04 = 30 000 N\end{gathered}\].
- ومع وسادة هوائية يمتد الزمن إلى 0.2 s: \[\begin{gathered}F = 60 \times 20 \div 0.2 =\;\color{#15803d}{\mathbf{6000 N}}\end{gathered}\] (أقل بخمس مرات).
4-7 القانون الأول حالة خاصة من الثاني
- إذا كانت ΣF = 0 فإن ma = 0 ومنها a = 0 فتبقى السرعة ثابتة.
- فيمكن القول إن القانون الأول للحركة حالة خاصة من القانون الثاني (عندما تكون القوة المحصلة صفرًا).