3-2 معادلة الاستمرارية

نختار مستويين عموديين على خطوط الانسياب في أنبوبة سريان عند مقطعين: مساحة المقطع الأول A₁ ومساحة المقطع الثاني A₂، وسرعة السائل عندهما v₁ و v₂ على الترتيب.

• حجم السائل المنساب خلال المقطع الأول في وحدة الزمن = A₁ v₁
• كتلة السائل المنساب خلال المقطع الأول في وحدة الزمن = ρ A₁ v₁

وبالمثل عند المقطع الثاني تكون كتلة السائل المنساب في وحدة الزمن ρ A₂ v₂.

ونظرًا لأن معدل الانسياب الكتلي ثابت في حالة السريان الهادئ (فلا يتراكم السائل ولا يُفقد بين المقطعين) فإن:

\[\begin{gathered}\rho A_{1} v_{1} = \rho A_{2} v_{2}\end{gathered}\]

وبما أن السائل غير قابل للانضغاط (ρ ثابتة) فبالاختصار:

\[\begin{gathered}A_{1} v_{1} = A_{2} v_{2}\end{gathered}\] (معادلة الاستمرارية)

أي أن حاصل ضرب مساحة المقطع في سرعة السائل مقدار ثابت على طول الأنبوبة، وهو معدل الانسياب الحجمي. ويمكن كتابتها على الصورة:

\[\begin{gathered}\dfrac{v_{1}}{v_{2}} = \dfrac{A_{2}}{A_{1}}\end{gathered}\]

ماذا نستنتج؟

• أن سرعة السائل عند أي نقطة في الأنبوبة تتناسب عكسيًا مع مساحة مقطع الأنبوبة عند هذه النقطة؛
• فينساب السائل ببطء شديد حيث تكون المساحة كبيرة، وبسرعة أكبر حيث تكون المساحة صغيرة.

إثبات آخر باستخدام الحجم:

• السائل الذي يدخل من الطرف الأول في زمن Δt يشغل حجمًا \[\begin{gathered}\Delta V_{1} = A_{1} \Delta x_{1} = A_{1} v_{1} \Delta t\end{gathered}\].
• ولأن السائل غير قابل للانضغاط، لا بد أن ينتقل الحجم نفسه عند الطرف الآخر: \[\begin{gathered}\Delta V_{2} = A_{2} v_{2} \Delta t\end{gathered}\].
• وبمساواة الحجمين: \[\begin{gathered}A_{1} v_{1} \Delta t = A_{2} v_{2} \Delta t\end{gathered}\] ومنها \[\begin{gathered}A_{1} v_{1} = A_{2} v_{2}\end{gathered}\].
• وتعكس معادلة الاستمرارية في أصلها قانون بقاء الكتلة (Conservation of Mass).

وإذا كانت مقاطع الأنبوبة دائرية فإن \[\begin{gathered}A = \pi r^{2} = \dfrac{\pi d^{2}}{4}\end{gathered}\]، ولذلك:

\[\begin{gathered}\dfrac{v_{1}}{v_{2}} = \left(\dfrac{r_{2}}{r_{1}}\right)^{2} = \left(\dfrac{d_{2}}{d_{1}}\right)^{2}\end{gathered}\]

فإذا نقص القطر إلى النصف زادت السرعة أربعة أمثال، وإذا نقص إلى الثلث زادت تسعة أمثال.