16 6-1 استنتاج القانون العام
ذكرنا أن سلوك الغاز يمكن وصفه بثلاثة متغيرات: الحجم والضغط ودرجة الحرارة. وقد وجدنا أن:
- من قانون بويل: \(\dfrac{V \propto 1}{P}\) عند ثبوت درجة الحرارة.
- من قانون شارل: V ∝ T عند ثبوت الضغط.
وبالجمع بين العلاقتين نتبين أن: \(\dfrac{V \propto T}{P}\) ، أي أن: \(\dfrac{P V}{T} =\) مقدار ثابت لكمية معينة من الغاز.
ولمقارنة المتغيرات لكمية معينة من الغاز في حالتين مختلفتين:
\[\begin{gathered}\dfrac{P_{1} V_{1}}{T_{1}} = \dfrac{P_{2} V_{2}}{T_{2}}\end{gathered}\] (القانون العام للغازات)
- حيث T بالكلفن.
- ويعطي هذا القانون الحجم أو الضغط أو درجة الحرارة النهائية عندما تتغير المتغيرات الثلاثة معًا.
- وهو يؤول إلى قانون بويل عند ثبوت T، وإلى قانون شارل عند ثبوت P، وإلى قانون الضغط عند ثبوت V.
معدل الضغط ودرجة الحرارة (STP): هو ضغط 76 cm Hg (1 atm) ودرجة حرارة 0°C (273 K). وكثيرًا ما تُحوَّل حجوم الغازات إليه للمقارنة.
مثال 1: غاز حجمه 2 L عند 27°C وضغط 1 atm. ضُغط إلى 4 atm وسُخن إلى 127°C. أوجد حجمه.
الحل: T₁ = 300 K ، \[\begin{gathered}T_{2} = 400 \,\text{KV}_{2} = \dfrac{P_{1} V_{1} T_{2}}{T_{1} P_{2}} = \dfrac{1 \times 2 \times 400}{300 \times 4} = \dfrac{800}{1200} =\;\color{#15803d}{\mathbf{0.667 L}}\end{gathered}\].
مثال 2: مقدار من غاز حجمه 500 cm³ عند 17°C وضغط 70 cm Hg. احسب حجمه عند معدل الضغط ودرجة الحرارة (STP).
الحل: T₁ = 290 K ، T₂ = 273 K ، \[\begin{gathered}P_{2} = 76 \,\text{cm} \,\text{HgV}_{2} = \dfrac{P_{1} V_{1} T_{2}}{T_{1} P_{2}} = \dfrac{70 \times 500 \times 273}{290 \times 76} = \dfrac{9 555 000}{22} 040 =\;\color{#15803d}{\mathbf{433.5 \,\text{cm}^{3}}}\end{gathered}\].
- مثال 3 (مزج غازين): إناء مقفل سعته 6 L وُضع فيه 8 L من غاز النيتروجين ضغطه 30 cm Hg و 4 L من غاز الأكسجين ضغطه 60 cm Hg.
- أوجد ضغط المزيج إذا ثبتت درجة الحرارة.
- الحل: كل غاز يشغل بعد الخلط سعة الإناء (6 L).
- نطبق قانون بويل على كل غاز: النيتروجين: \[\begin{gathered}30 \times 8 = P_{1} \times 6 \\[4pt] \therefore\; P_{1} = 40 \,\text{cm} \,\text{Hg}\end{gathered}\]الأكسجين: \[\begin{gathered}60 \times 4 = P_{2} \times 6 \\[4pt] \therefore\; P_{2} = 40 \,\text{cm} \,\text{Hg}\end{gathered}\]ضغط مخلوط غازين لا يتفاعلان = مجموع الضغطين الجزئيين: \[\begin{gathered}P = 40 + 40 =\;\color{#15803d}{\mathbf{80 \,\text{cm} \,\text{Hg}}}\end{gathered}\].
- مثال 4 (بالون): بالون هيليوم حجمه 5 L عند سطح الأرض حيث الضغط 1 atm ودرجة الحرارة 27°C.
- ارتفع إلى مستوى ضغطه 0.5 atm ودرجة حرارته −3°C.
- أوجد حجمه.
- الحل: T₁ = 300 K ، \[\begin{gathered}T_{2} = 270 \,\text{KV}_{2} = \dfrac{1 \times 5 \times 270}{300 \times 0.5} = \dfrac{1350}{150} =\;\color{#15803d}{\mathbf{9 L}}\end{gathered}\].
- (يتمدد البالون كلما ارتفع لأن الضغط الخارجي يقل، وتأثير الضغط أكبر من أثر انخفاض درجة الحرارة، حتى قد ينفجر عند ارتفاع كبير).
- مثال 5 (فقاعة): فقاعة هواء حجمها 2 cm³ عند قاع بحيرة عمقها 20 m ودرجة حرارة القاع 4°C.
- احسب حجمها قبل وصولها إلى السطح مباشرة حيث درجة الحرارة 24°C. (الضغط الجوي 1.013 × 10⁵ Pa، كثافة الماء \(1000 \,\text{kg}/m^{3}\)، \(g = 10 m/s^{2}\)).
الحل: ضغط القاع: \[\begin{gathered}P_{1} = 1.013 \times 10^{5} + 1000 \times 10 \times 20 = 3.013 \times 10^{5} \,\text{Pa}\end{gathered}\]عند السطح: \[\begin{gathered}P_{2} = 1.013 \times 10^{5} \,\text{PaT}_{1} = 277 K\end{gathered}\] ، \[\begin{gathered}T_{2} = 297 \,\text{KV}_{2} = \dfrac{P_{1} V_{1} T_{2}}{T_{1} P_{2}} = \dfrac{3.013 \times 2 \times 297}{277 \times 1.013} = \dfrac{1789.7}{280.6} =\;\color{#15803d}{\mathbf{6.38 \,\text{cm}^{3}}}\end{gathered}\].
