إذا كان a/b = c/d = 3/5، فإن قيمة المقدار (2a + 3c) / (2b + 3d) تساوي:

3/5 (وفق خاصية مجموع المقدمات إلى مجموع التوالي يساوي إحدى النسب)

حركة الأجسام المتصلة

الضغط ورد الفعل وحركة المصاعد والوزن الظاهري.
الميزان الزنبركي وميزان الضغط والميزان المعتاد.
جسمان معلقان بخيط على بكرة ملساء: العجلة والشد والضغط على البكرة.
قطع الخيط وإضافة كتلة وانفصالها وسرعة ابتدائية.
نأخذ عجلة الجاذبية $g = 9.8 {m/s}^{2}$ ما لم يُذكر غير ذلك.

🌳 شجرة المفاهيم

حركة الأجسام المتصلة
├── 2-2 الضغط ورد الفعل
│   ├── القانون الثالث لنيوتن
│   ├── الضغط ورد الفعل
│   └── وحدات القوة
├── 2-2 حركة المصاعد: القوى المؤثرة على الشخص
│   ├── القوى
│   ├── معادلة الحركة
│   └── ملاحظات
├── 2-2 المصعد والشخص معًا: الشد في الحبل
│   ├── القوى على المصعد وحده
│   ├── القوى على المجموعة (المصعد والشخص معًا)
│   └── خطوات الحل
├── 2-2 الميزان الزنبركي وميزان الضغط والميزان المعتاد
│   ├── الميزان الزنبركي
│   ├── ميزان الضغط
│   ├── ميزان الكفتين المعتاد
│   └── تفسير قراءة الميزان
├── 2-2 جسمان معلقان بخيط يمر على بكرة ملساء
│   ├── وصف المنظومة
│   ├── معادلات الحركة
│   └── ملاحظات
├── 2-2 الضغط على محور البكرة
│   └── القانون
├── 2-2 قطع الخيط بين الجسمين
│   ├── ما يحدث عند القطع
│   ├── الجسم الأخف (كان صاعدًا)
│   ├── الجسم الأثقل (كان هابطًا)
│   └── خطوات الحل
├── 2-2 إضافة كتلة صغيرة إلى أحد الجسمين وانفصالها
│   ├── الحالة
│   ├── معادلات الحركة قبل الانفصال
│   └── بعد انفصال الكتلة الإضافية
└── 2-2 جسمان متصلان بخيطين وسرعة ابتدائية
    ├── ثلاثة أجسام وخيطان
    └── سرعة ابتدائية وحالات الحركة

01 2-2 الضغط ورد الفعل

القانون الثالث لنيوتن

القانون الثالث: لكل فعل رد فعل مساوٍ له في المقدار ومضاد له في الاتجاه.
الفعل ورد الفعل يؤثران على جسمين مختلفين، لذلك لا يلغي أحدهما الآخر.

الضغط ورد الفعل

عندما يوضع جسم كتلته $m$ على سطح أفقي ساكن فإنه يضغط عليه بقوة تساوي وزنه $m g$ .
ينشأ عن ذلك رد فعل $R$ من السطح على الجسم، يساويه في المقدار ويضاده في الاتجاه.
يتغير الضغط إذا تحرك السطح صعودًا أو هبوطًا بعجلة، ويسمى الضغط عندئذ الوزن الظاهري.
رد الفعل يؤثر دائمًا على الجسم الموضوع، أما الضغط فيؤثر على السطح، ومقدارهما واحد.

وحدات القوة

الوزن بالنيوتن $= m g$ ، والوزن بثقل الكيلوجرام: $1 kgwt = 9.8 N$ .
لتحويل النيوتن إلى ث.كجم نقسم على $9.8$ ، ولتحويل ث.كجم إلى نيوتن نضرب في $9.8$ .
في المعادلات نستخدم النيوتن دائمًا (الوحدات المطلقة) ثم نحول النتيجة إذا طُلب الثقل.

02 2-2 حركة المصاعد: القوى المؤثرة على الشخص

القوى

وزن الشخص $m g$ يؤثر لأسفل دائمًا مهما كان اتجاه حركة المصعد.
رد فعل أرضية المصعد $R$ يؤثر لأعلى دائمًا، ومقداره يساوي ضغط الشخص على الأرضية.

معادلة الحركة

نختار الاتجاه الموجب هو اتجاه عجلة المصعد.
المصعد يتحرك لأعلى بعجلة $a$ :

$R - m g = m a \Rightarrow R = m (g + a)$

المصعد يتحرك لأسفل بعجلة $a$ :

$m g - R = m a \Rightarrow R = m (g - a)$

المصعد ساكن أو متحرك بسرعة منتظمة: $a = 0$ فيكون $R = m g$ .

ملاحظات

عندما يصعد المصعد بعجلة موجبة يزداد الوزن الظاهري عن الوزن الحقيقي، وعندما يهبط بعجلة موجبة يقل.
إذا تحرك المصعد لأعلى بعجلة ثم هبط بالعجلة نفسها فمجموع القراءتين يساوي ضعف الوزن الحقيقي: $m (g + a) + m (g - a) = 2 m g$ .
سقوط حر: إذا هبط المصعد بعجلة $a = g$ فإن $R = 0$ ويشعر الشخص بانعدام الوزن.
إذا كانت العجلة المعطاة تحت اسم "تقصيرية" فقيمتها سالبة، فالمصعد الصاعد بعجلة تقصيرية يعامل كأنه هابط بعجلة موجبة.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 1: شخص كتلته $60$ كجم داخل مصعد، أوجد ضغطه على الأرضية بثقل الكيلوجرام إذا كان المصعد: (أ) صاعدًا بعجلة $4.9 {m/s}^{2}$ ، (ب) هابطًا بالعجلة نفسها، (ج) متحركًا بسرعة منتظمة.

الحل:

(أ) $R = 60 (9.8 + 4.9) = 60 \times 14.7 = 882$ نيوتن $= \frac{882}{9.8} = 90$ ث.كجم.
(ب) $R = 60 (9.8 - 4.9) = 60 \times 4.9 = 294$ نيوتن $= 30$ ث.كجم.
(ج) $R = m g = 60 \times 9.8 = 588$ نيوتن $= 60$ ث.كجم.
ويلاحظ أن $90 + 30 = 2 \times 60$ كما ذكرنا.

03 2-2 المصعد والشخص معًا: الشد في الحبل

القوى على المصعد وحده

وزن المصعد $m_{1} g$ لأسفل، وضغط الشخص على أرضية المصعد $R$ لأسفل، والشد $T$ في الحبل لأعلى.
معادلة حركة المصعد وحده عند الحركة لأعلى بعجلة $a$ :

$T - m_{1} g - R = m_{1} a$

القوى على المجموعة (المصعد والشخص معًا)

وزن المجموعة $(m_{1} + m_{2}) g$ لأسفل، والشد $T$ لأعلى.
ضغط الشخص ورد الفعل قوتان داخليتان فلا تدخلان في معادلة المجموعة.
معادلة المجموعة عند الحركة لأعلى بعجلة $a$ :

$T - (m_{1} + m_{2}) g = (m_{1} + m_{2}) a \Rightarrow T = (m_{1} + m_{2}) (g + a)$

وعند الهبوط بعجلة $a$ : $T = (m_{1} + m_{2}) (g - a)$ .

خطوات الحل

ارسم الأجسام وحدد القوى على كل جسم.
اختر اتجاهًا موجبًا في اتجاه الحركة.
اكتب معادلة حركة للشخص (لإيجاد $R$ ) ومعادلة للمجموعة (لإيجاد $T$ ).

✍️ أمثلة محلولة

مثال 1: مصعد كتلته $400$ كجم به رجل كتلته $80$ كجم، يتحرك لأعلى بعجلة $4.9 {m/s}^{2}$ . أوجد الشد في الحبل وضغط الرجل على الأرضية.

الحل:

المجموعة: $T = (400 + 80) (9.8 + 4.9) = 480 \times 14.7 = 7056$ نيوتن $= 720$ ث.كجم.
الرجل: $R = 80 (9.8 + 4.9) = 80 \times 14.7 = 1176$ نيوتن $= 120$ ث.كجم.
التحقق من المصعد وحده: $T - 400 g - R = 400 a$ أي $7056 - 3920 - 1176 = 1960 = 400 \times 4.9$ .

04 2-2 الميزان الزنبركي وميزان الضغط والميزان المعتاد

الميزان الزنبركي

يُعلَّق به الجسم من سقف المصعد، وقراءته تعبر عن الشد في سلك الميزان.
نكتب معادلة حركة الجسم: $T - m g = m a$ (للحركة لأعلى).
قراءة الميزان هي الوزن الظاهري للجسم.

ميزان الضغط

يُثبَّت في أرضية المصعد ويوضع الجسم عليه، وقراءته تعبر عن ضغط الجسم على الميزان، أي رد الفعل $R$ .

ميزان الكفتين المعتاد

يقارن الكتلة بكتلة أخرى، ولا يتأثر بحركة المصعد.
هو الميزان الوحيد الذي يقيس الوزن الحقيقي في كل الظروف.

تفسير قراءة الميزان

قراءة الميزان $>$ الوزن الحقيقي $m g$ : المصعد صاعد بعجلة موجبة أو هابط بعجلة تقصيرية.
قراءة الميزان $<$ الوزن الحقيقي: المصعد هابط بعجلة موجبة أو صاعد بعجلة تقصيرية.
قراءة الميزان $=$ الوزن الحقيقي: المصعد ساكن أو متحرك بسرعة منتظمة.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 1: جسم معلق في ميزان زنبركي مثبت في سقف مصعد، قراءة الميزان $12$ ث.كجم أثناء صعود المصعد بعجلة $\frac{g}{3}$ .
أوجد كتلة الجسم، ثم قراءة الميزان إذا هبط المصعد بالعجلة نفسها.

الحل:

صعود: $T = m (g + \frac{g}{3}) = \frac{4 m g}{3}$ أي $\frac{4 m}{3} = 12$ ث.كجم.
$m = 9$ كجم.
هبوط: $T = m (g - \frac{g}{3}) = \frac{2 m g}{3} = 9 \times \frac{2}{3} = 6$ ث.كجم.

05 2-2 جسمان معلقان بخيط يمر على بكرة ملساء

وصف المنظومة

البكرة تغير اتجاه القوة وتسهل الحركة، وهنا نتناول بكرة واحدة ثابتة.
بكرة ملساء معناها أن الشد في جزأي الخيط متساوٍ، وخيط خفيف غير مرن معناه أن العجلة متساوية في المقدار للجسمين.
جسمان كتلتاهما $m_{1} > m_{2}$ معلقان من طرفي الخيط. تبدأ المجموعة الحركة من السكون فيهبط الأثقل بعجلة $a$ ويصعد الأخف بالعجلة نفسها.

معادلات الحركة

للجسم الأثقل (يهبط): $m_{1} g - T = m_{1} a$ .
للجسم الأخف (يصعد): $T - m_{2} g = m_{2} a$ .
بالجمع نحذف الشد:

$a = \frac{(m_{1} - m_{2}) g}{m_{1} + m_{2}}$

ثم نوجد الشد من أي معادلة:

$T = \frac{2 m_{1} m_{2} g}{m_{1} + m_{2}}$

ملاحظات

كلما تقارب الكتلتان صغرت العجلة، وإذا تساوتا $(m_{1} = m_{2})$ فإن $a = 0$ وتبقى المجموعة ساكنة أو تتحرك بسرعة منتظمة.
العجلة دائمًا أقل من $g$ ، والشد أقل من وزن الأثقل وأكبر من وزن الأخف.
معادلات الحركة السابقة هي كل ما نحتاجه مع قوانين الحركة بعجلة منتظمة: $v = u + a t$ و $s = u t + \frac{1}{2} a t^{2}$ و $v^{2} = u^{2} + 2 a s$ .
إذا بدأ الجسمان في مستوى أفقي واحد وتحركت المجموعة زمنًا $t$ فالمسافة الرأسية بينهما $= 2 s = a t^{2}$ .

✍️ أمثلة محلولة

مثال 1: جسمان كتلتاهما $5$ كجم و $3$ كجم معلقان بطرفي خيط على بكرة ملساء، تحركت المجموعة من السكون.
أوجد العجلة والشد وسرعة المجموعة بعد $2$ ثانية.

الحل:

$a = \frac{(5 - 3) \times 9.8}{5 + 3} = \frac{19.6}{8} = 2.45 {m/s}^{2}$ .
$T = \frac{2 \times 5 \times 3 \times 9.8}{8} = \frac{294}{8} = 36.75$ نيوتن.
$v = u + a t = 0 + 2.45 \times 2 = 4.9 m/s$ .

06 2-2 الضغط على محور البكرة

القانون

الخيط المشدود على البكرة يؤثر على محورها بقوتين رأسيتين لأسفل مقدار كل منهما $T$ .
فيكون الضغط على محور البكرة هو محصلتهما:

$P = 2 T = \frac{4 m_{1} m_{2} g}{m_{1} + m_{2}}$

يمكن كتابته بثقل الكيلوجرام بقسمة النتيجة على $9.8$ .
الضغط أقل من مجموع وزني الجسمين $(m_{1} + m_{2}) g$ ما دامت المجموعة تتحرك بعجلة، ويساويه عندما تكون المجموعة ساكنة.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 1: أوجد الضغط على محور البكرة في المثال الذي كتلتاه $5$ كجم و $3$ كجم.

الحل:

$T = 36.75$ نيوتن.
$P = 2 T = 73.5$ نيوتن $= \frac{73.5}{9.8} = 7.5$ ث.كجم.
وهو أقل من مجموع الوزنين $8$ ث.كجم.

07 2-2 قطع الخيط بين الجسمين

ما يحدث عند القطع

إذا قُطع الخيط بعد زمن $t$ من بدء الحركة فإن الشد يزول ويتحرك كل جسم حركة تحت تأثير الجاذبية وحدها بعجلة $g$ لأسفل.
السرعة الابتدائية لكل جسم بعد القطع هي سرعة المجموعة لحظة القطع $v = a t$ ، لكن باتجاهه: الجسم الأثقل لأسفل والأخف لأعلى.

الجسم الأخف (كان صاعدًا)

يستمر صاعدًا بالسرعة $v$ لأعلى بعجلة $g$ لأسفل (تقصيرية)، فيصعد ارتفاعًا إضافيًّا $h = \frac{v^{2}}{2 g}$ ثم يسكن لحظيًّا بعد زمن $\frac{v}{g}$ ثم يهبط حرًّا.
يعود إلى نقطة القطع بالسرعة $v$ لأسفل بعد زمن $\frac{2 v}{g}$ من القطع.

الجسم الأثقل (كان هابطًا)

يستمر هابطًا بالسرعة $v$ لأسفل وبعجلة $g$ لأسفل (تزايدية).
مسافته بعد القطع: $s = v t + \frac{1}{2} g t^{2}$ .

خطوات الحل

أوجد العجلة $a$ قبل القطع ثم السرعة $v = a t$ والمسافة $\frac{1}{2} a t^{2}$ لحظة القطع.
اعتبر لحظة القطع بداية جديدة للحركة تحت الجاذبية.
لا تنسَ أن المسافة الرأسية بين الجسمين وقت القطع $= a t^{2}$ إذا كانا في مستوى واحد عند البدء.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 1: جسمان كتلتاهما $6$ كجم و $2$ كجم على طرفي خيط على بكرة ملساء، بدآ الحركة من السكون والجسم $6$ كجم على ارتفاع $19.6$ م من الأرض.
أوجد السرعة بعد ثانيتين، ثم زمن وصول الجسم $6$ كجم إلى الأرض لو قُطع الخيط عند ذلك.

الحل:

$a = \frac{(6 - 2) \times 9.8}{8} = 4.9 {m/s}^{2}$ .
بعد ثانيتين: $v = 4.9 \times 2 = 9.8 m/s$ والمسافة المقطوعة $= \frac{1}{2} \times 4.9 \times 4 = 9.8$ م.
الارتفاع المتبقي للجسم $6$ كجم $= 19.6 - 9.8 = 9.8$ م.
بعد القطع: $9.8 = 9.8 t + 4.9 t^{2}$ أي $t^{2} + 2 t - 2 = 0$ .
$t = - 1 + \sqrt{3} \approx 0.73$ ثانية.

08 2-2 إضافة كتلة صغيرة إلى أحد الجسمين وانفصالها

الحالة

إذا كان الجسمان متساويين $m_{1} = m_{2} = m$ فالمجموعة متزنة. وإذا أضيفت كتلة صغيرة $μ$ إلى أحدهما تتحرك المجموعة في اتجاه الجسم الذي عليه الكتلة الزائدة.

معادلات الحركة قبل الانفصال

للجسم الأثقل: $(m + μ) g - T = (m + μ) a$ .
للجسم الآخر: $T - m g = m a$ .
بالجمع تكون العجلة:

$a = \frac{μ g}{2 m + μ}$

بعد انفصال الكتلة الإضافية

إذا انفصلت الكتلة $μ$ بعد زمن $t$ فإن الجسمين يصبحان متساويين، فتنعدم العجلة وتتحرك المجموعة بسرعة منتظمة هي سرعتها لحظة الانفصال $v = a t$ في الاتجاه السابق نفسه.
أما إذا بقي الجسمان غير متساويين بعد الانفصال (كأن كانت الكتلة المنفصلة جزءًا من الحمل فقط) فنحسب عجلة جديدة، قد تكون تقصيرية، فتسكن المجموعة لحظيًّا ثم تعكس اتجاهها.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 1: جسمان كتلة كل منهما $40$ جم، وُضعت فوق أحدهما كتلة $20$ جم، فتحركت المجموعة من السكون.
أوجد العجلة والشد، ثم أوجد المسافة التي تقطعها المجموعة في $3$ ثوان بعد انفصال الكتلة الإضافية عند نهاية الثانيتين الأوليين.
( $g = 980 {cm/s}^{2}$ )

الحل:

$a = \frac{20 \times 980}{40 + 40 + 20} = 196 {cm/s}^{2}$ .
للجسم الآخر (الصاعد): $T = 40 (980 + 196) = 40 \times 1176 = 47040$ داين $= 48$ ث.جم.
سرعة الانفصال بعد ثانيتين: $v = 196 \times 2 = 392 cm/s$ .
بعد الانفصال يتساوى الجسمان $(40 = 40)$ فتتحرك المجموعة بسرعة منتظمة $392 cm/s$ .
المسافة في $3$ ثوان $= 392 \times 3 = 1176$ سم.

09 2-2 جسمان متصلان بخيطين وسرعة ابتدائية

ثلاثة أجسام وخيطان

قد يعلق في أحد طرفي الخيط الرئيسي جسمان متصلان بخيط ثانٍ (كالثقلين المتصلين معًا بخيط تحت بعضهما).
نعتبر المجموعة المربوطة جسمًا واحدًا لإيجاد العجلة المشتركة، ثم نكتب معادلة لكل جسم لإيجاد كل شد.
الشد في الخيط السفلي يحمل الجسم السفلي فقط، فهو يختلف عن الشد في الخيط الرئيسي.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 1: يمر خيط على بكرة ملساء، في أحد طرفيه جسم كتلته $9$ كجم، وفي الطرف الآخر جسمان كتلتاهما $4$ كجم و $2$ كجم متصلان بخيط ثانٍ بحيث الجسم $2$ كجم أسفل الجسم $4$ كجم.
أوجد العجلة والشدين.

الحل:

الجسم $9$ كجم يهبط بعجلة $a$ والجسمان معًا $(6$ كجم $)$ يصعدان.
$a = \frac{(9 - 6) \times 9.8}{9 + 6} = \frac{29.4}{15} = 1.96 {m/s}^{2}$ .
الشد في الخيط الرئيسي: $T_{1} = 6 (9.8 + 1.96) = 6 \times 11.76 = 70.56$ نيوتن.
الشد في الخيط السفلي (يحمل الجسم $2$ كجم): $T_{2} = 2 (9.8 + 1.96) = 23.52$ نيوتن.
تحقق: $9 (9.8 - 1.96) = 9 \times 7.84 = 70.56$ نيوتن وهو $T_{1}$ .

سرعة ابتدائية وحالات الحركة

إذا علقت كتلتان مجهولتان على بكرة وأعطينا إحداهما سرعة ابتدائية $u$ ثم تحركت المجموعة فهناك ثلاث حالات:
تتحرك بعجلة تقصيرية وتسكن لحظيًّا ثم تعكس اتجاهها: فالجسم الذي أخذ السرعة نحو الأعلى هو الأثقل، وتحسب العجلة من $v = 0$ .
تتحرك بسرعة ثابتة: فالكتلتان متساويتان (قانون نيوتن الأول).
تتحرك بعجلة تزايدية: فالجسم الذي دُفع لأسفل هو الأثقل.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 2: كتلتان $m_{1}$ و $m_{2}$ معلقتان بخيط على بكرة ملساء، أعطيت الكتلة $m_{1}$ سرعة $2 m/s$ لأعلى، فعادت المجموعة إلى موضعها الأصلي بعد $2$ ثانية بالضبط.
استنتج أي الكتلتين أكبر وأوجد العجلة.

الحل:

عودة المجموعة إلى مكانها بعد توقفها يدل على عجلة تقصيرية، فالكتلة التي صعدت $m_{1}$ هي الأكبر.
الإزاحة عن الموضع تساوي صفرًا: $0 = u t + \frac{1}{2} a t^{2}$ أي $0 = 2 \times 2 + \frac{1}{2} a \times 4$ .
$a = - 2 {m/s}^{2}$ (أي عجلة تقصيرية مقدارها $2 {m/s}^{2}$ ).

حركة الأجسام المتصلة

🧭 نقاط الدرس — اختر نقطة وذاكرها مع بنك أسئلتها

🌳 شجرة المفاهيم

01 2-2 الضغط ورد الفعل

القانون الثالث لنيوتن

الضغط ورد الفعل

وحدات القوة

02 2-2 حركة المصاعد: القوى المؤثرة على الشخص

القوى

معادلة الحركة

ملاحظات

03 2-2 المصعد والشخص معًا: الشد في الحبل

القوى على المصعد وحده

القوى على المجموعة (المصعد والشخص معًا)

خطوات الحل

04 2-2 الميزان الزنبركي وميزان الضغط والميزان المعتاد

الميزان الزنبركي

ميزان الضغط

ميزان الكفتين المعتاد

تفسير قراءة الميزان

05 2-2 جسمان معلقان بخيط يمر على بكرة ملساء

وصف المنظومة

معادلات الحركة

ملاحظات

06 2-2 الضغط على محور البكرة

القانون

07 2-2 قطع الخيط بين الجسمين

ما يحدث عند القطع

الجسم الأخف (كان صاعدًا)

الجسم الأثقل (كان هابطًا)

خطوات الحل

08 2-2 إضافة كتلة صغيرة إلى أحد الجسمين وانفصالها

الحالة

معادلات الحركة قبل الانفصال

بعد انفصال الكتلة الإضافية

09 2-2 جسمان متصلان بخيطين وسرعة ابتدائية

ثلاثة أجسام وخيطان

سرعة ابتدائية وحالات الحركة