مبادئ نظرية المجموعات وطرق التعبير عنها والعلاقات الأساسية

نظرية المجموعات هي اللغة الرياضية الموحدة التي تبنى عليها الرياضيات الحديثة والمنطق وعلوم الحاسوب. يعبر عن المجموعة بطريقتين رئيسيتين:

1. طريقة السرد (Listing Method): نكتب جميع عناصر المجموعة داخل قوسين { } ونفصل بين كل عنصرين بفاصلة دون تكرار أي عنصر ولا يشترط الترتيب، مثل: مجموعة أرقام العدد 5352 هي {2, 3, 5}.

2. طريقة الصفة المميزة (Set-Builder Notation): تحديد الخاصية الفريدة التي تجمع عناصر المجموعة، مثل: A = {x : x ∈ N, 2 ≤ x < 7} وهي تساوي بالسرد {2, 3, 4, 5, 6}.

العلاقات الأساسية بين العناصر والمجموعات:

• الانتماء (∈ و ∉): يربط بين (عنصر مفرد) و (مجموعة)، مثل: 5 ∈ {1, 3, 5} بينما 4 ∉ {1, 3, 5}.

• الاحتواء والجزئية (⊆ و ⊄): يربط بين (مجموعة) و (مجموعة أخرى)، وتكون A ⊆ B إذا كان كل عنصر في A ينتمي حتماً إلى B.

• المجموعة الخالية (∅): مجموعة جزئية من أي مجموعة في الكون (∅ ⊆ A)، بينما عدد المجموعات الجزئية لمجموعة تحتوي على n من العناصر يساوي \((2^{n})\).