إذا كان a/b = c/d = 3/5، فإن قيمة المقدار (2a + 3c) / (2b + 3d) تساوي:

3/5 (وفق خاصية مجموع المقدمات إلى مجموع التوالي يساوي إحدى النسب)

3-2 الازدواج المحصل — الدرس الثاني: العزوم والاتزان العام والازدواج ومركز الثقل

يقال لعدة قوى مستوية إنها تكافئ ازدواجًا إذا تحقق الشرطان:
انعدام محصلة القوى (أو مجموع المركبات الجبرية للقوى في أي اتجاه $= 0$ ).
مجموع عزوم القوى حول أي نقطة لا ينعدم.
ملحوظة: تحقق أحد الشرطين فقط لا يكفي لإثبات أن القوى تكافئ ازدواجًا، فالقوى المتلاقية في نقطة إذا انعدمت محصلتها تكون متزنة ولا تكافئ ازدواجًا.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 22: قضيب خفيف $A B$ تؤثر عليه القوى 15 نيوتن لأعلى عند $A$ و 8 نيوتن لأسفل عند نقطة تبعد 5 سم من $A$ و 7 نيوتن لأسفل عند $B$ حيث $A B = 14$ سم (ثلاث قوى رأسية).
أثبت أن المجموعة تكافئ ازدواجًا وأوجد القياس الجبري لعزمه.
الحل:

نفرض أن اتجاه القوة 15 هو الموجب: $R = 15 - 8 - 7 = 0$ فمحصلة القوى معدومة
لا بد أن تكون المجموعة متزنة أو تكافئ ازدواجًا، ولذلك نوجد مجموع عزوم القوى حول $A$ : $- 8 \times 5 - 7 \times 14 = - 40 - 98 = - 138$ نيوتن.سم (غير صفرية)
المجموعة تكافئ ازدواجًا قياسه الجبري $- 138$ نيوتن.سم.

قاعدة: إذا أثرت ثلاث قوى مستوية وغير متلاقية في جسم متماسك وتمثلها تمامًا أضلاع مثلث مأخوذة في ترتيب دوري واحد كانت هذه المجموعة تكافئ ازدواجًا معيار عزمه يساوي حاصل ضرب ضعف مساحة المثلث في مقدار القوة الممثل لوحدة الأطوال.
البرهان: القوى الثلاث ${\vec{F}}_{1}, {\vec{F}}_{2}, {\vec{F}}_{3}$ تمثل $\vec{A B}, \vec{B C}, \vec{C A}$ تمثيلًا تامًّا بحيث $\frac{F_{1}}{A B} = \frac{F_{2}}{B C} = \frac{F_{3}}{C A} = m$ .
مجموع الأضلاع المتجهة $\vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C A} = \vec{0}$ فمحصلة القوى تساوي صفرًا.
القوتان ${\vec{F}}_{1}$ و ${\vec{F}}_{2}$ المتلاقيتان في $B$ محصلتهما $- {\vec{F}}_{3}$ ، فالمجموعة تكافئ القوتين ${\vec{F}}_{3}$ عند $C$ و $- {\vec{F}}_{3}$ عند $B$ ، أي ازدواجًا ذراعه $B D$ (العمود من $B$ على $A C$ ).
معيار عزم الازدواج $= F_{3} \times B D = m \times C A \times B D = m \times 2 مساحة (△ A B C)$ .

✍️ أمثلة محلولة

مثال 23: $A B C$ مثلث قائم الزاوية في $B$ فيه $A B = 6$ سم و $B C = 8$ سم و $A C = 10$ سم، أثرت قوى مقاديرها 3 و 4 و 5 نيوتن في اتجاهات $\vec{A B}$ و $\vec{B C}$ و $\vec{C A}$ على الترتيب.
أثبت أن المجموعة تكافئ ازدواجًا وأوجد معيار عزمه.
الحل:

$\frac{3}{6} = \frac{4}{8} = \frac{5}{10} = 0.5$ نيوتن لكل سم، فالقوى تمثلها أضلاع المثلث تمامًا في ترتيب دوري
المجموعة تكافئ ازدواجًا
مساحة المثلث $= \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24$ سم²
معيار عزم الازدواج $= 2 \times 24 \times 0.5 = 24$ نيوتن.سم

إذا أثرت عدة قوى مستوية في جسم متماسك ومثلتها تمامًا أضلاع مضلع مقفل مأخوذة في ترتيب دوري واحد، كانت هذه القوى تكافئ ازدواجًا معيار عزمه يساوي حاصل ضرب ضعف مساحة سطح المضلع في مقدار القوة الممثل لوحدة الأطوال.

إذا كان مجموع القياسات الجبرية لعزوم مجموعة من القوى المستوية بالنسبة لثلاث نقط في مستواها ليست على استقامة واحدة مقدارًا ثابتًا لا يساوي الصفر، كانت هذه المجموعة تكافئ ازدواجًا القياس الجبري لعزمه يساوي هذا المقدار الثابت.
البرهان: أي مجموعة من القوى إما أن تؤول إلى قوة واحدة $R$ أو تؤول إلى ازدواج أو تكون متزنة. لو كانت تؤول إلى قوة واحدة $R$ لانعدم مجموع العزوم حول نقطة على خط عملها، ولكانت أبعاد النقاط الثلاث عن خط عمل $R$ كلها متساوية $L_{1} = L_{2} = L_{3}$ مما يعني أنها على مستقيم واحد يوازي $R$ ، وهذا يتنافى مع الفرض، فالمجموعة تكافئ ازدواجًا قياسه الجبري يساوي المقدار الثابت.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 25: نقاط $A, B, C$ ليست على استقامة واحدة، ومجموع عزوم قوى مستوية بالنسبة لكل منها يساوي $- 80$ نيوتن.سم.
بيّن أن هذه القوى تكافئ ازدواجًا وأوجد عزمه.
الحل:

مجموع العزوم حول النقاط الثلاث ثابت وغير صفري
بحسب القاعدة تكافئ المجموعة ازدواجًا قياسه الجبري $- 80$ نيوتن.سم (في اتجاه عقارب الساعة).

مجموع ازدواجين مستويين هو ازدواج عزمه يساوي مجموع عزمي الازدواجين $G = G_{1} + G_{2}$ ، ويسمى الازدواج المحصل.
وعمومًا الازدواج المحصل لعدة ازدواجات مستوية عزمه = المجموع الجبري لعزومها.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 26: $A B C D$ مربع طول ضلعه 20 سم، أثرت قوتان مقدار كل منهما 30 نيوتن في اتجاهي $\vec{A D}$ و $\vec{C B}$ ، وقوتان مقدار كل منهما 50 نيوتن في اتجاهي $\vec{A B}$ و $\vec{C D}$ .
أوجد القياس الجبري لعزم الازدواج المحصل.
الحل:

القوتان 30 و 30 تكوِّنان ازدواجًا قياسه الجبري $G_{1} = - 30 \times 20 = - 600$ نيوتن.سم (في اتجاه عقارب الساعة)
القوتان 50 و 50 تكوِّنان ازدواجًا قياسه الجبري $G_{2} = + 50 \times 20 = + 1000$ نيوتن.سم (عكس عقارب الساعة)
الازدواج المحصل $G = G_{1} + G_{2} = - 600 + 1000 = + 400$ نيوتن.سم