1. اختبار المشتقة الأولى والنقاط الحرجة وفترات التزايد والتناقص21 سؤال
2. المشتقة الثانية والتقعر ونقاط الانقلاب12 سؤال
نظرة عامة على الدرس والأهداف الوزارية:
يمكّننا التفاضل من رسم منحنيات الدوال بدقة فائقة وتحديد فترات التزايد والتناقص، والنقاط الحرجة، والتقعر لأعلى ولأسفل، والقيم العظمى والصغرى المطلقة والمحلية وتطبيقات التحسين الهندسي والاقتصادي.
يمكّننا التفاضل من رسم منحنيات الدوال بدقة فائقة وتحديد فترات التزايد والتناقص، والنقاط الحرجة، والتقعر لأعلى ولأسفل، والقيم العظمى والصغرى المطلقة والمحلية وتطبيقات التحسين الهندسي والاقتصادي.
🌳 شجرة التصنيفات والمفاهيم الهيكلية (Hierarchy Concept Tree)
خريطة ذهنية هيكلية مستوحاة من أسلوب كبار معلمي الثانوية العامة ونظم التعلم الحديثة لتنظيم استيعاب الطالب قبل الخوض في التفاصيل:
الخريطة المفاهيمية للرياضيات والتحليل الهندسي: الدرس الثالث: سلوك الدالة والقيم العظمى والصغرى ونقاط الانقلاب
├── أولاً: النظريات والتعريفات الرياضية المنضبطة
│ ├── الشروط الحاكمة ومجال الدالة والقوانين الأساسية
│ └── القواعد الاشتقاقية والجبرية ونقاط التحول
└── ثانياً: استراتيجيات الحل والنمذجة الرياضية
├── خطوات البرهان الرياضي والحل التحليلي المنظم
└── مهارات فحص البدائل وتفادي الفخاخ الإشارية والحسابية
📋 سبورة الأستاذ الذهبية وتريكات الامتحان (The Master Teacher's Blackboard)
أسلوب كبار معلمي الثانوية العامة • يوتيوب- ⚡ مجال الدالة والقيود: قبل البدء في الاشتقاق أو التكامل، حدد دائماً مجال الدالة (استبعد أصفار المقام، والقيم السالبة تحت الجذور الزوجية، وما داخل اللوغاريتمات).
- ⚡ فخ قاعدة السلسلة (Chain Rule): لا تنسَ ضرب المشتقة في مشتقة ما بداخل القوس أو مشتقة الزاوية في الدوال المثلثية!
- ⚡ النقط الحرجة ونقاط الانقلاب: النقط الحرجة تكون عند المشتقة الأولى = صفر أو غير معرفة. نقاط الانقلاب تكون عند المشتقة الثانية = صفر بشرط تغير إشارة التحدب قبلها وبعدها.
- ⚡ ثابت التكامل C: في التكامل غير المحدد تذكر دائماً إضافة الثابت C، ولا تتسرع في فك الأقواس إذا كان بالإمكان جعل ما خارج القوس مشتقة لما بداخله.
01 أولًا: اختبار المشتقة الأولى والنقاط الحرجة وفترات التزايد والتناقص
تكون النقطة (c, f(c)) نقطة حرجة إذا كانت f'(c) = 0 أو كانت المشتقة f'(c) غير معرّفة، بشرط أن تنتمي c إلى مجال الدالة.
- إذا كانت f'(x) > 0 على فترة، فإن الدالة تزايدية تماماً على تلك الفترة.
- إذا كانت f'(x) < 0 على فترة، فإن الدالة تناقصية تماماً على تلك الفترة.
- إذا غيرت f'(x) إشارتها من موجب إلى سالب عند c، فللدالة قيمة عظمى محلية عند c.
- إذا غيرت f'(x) إشارتها من سالب إلى موجب عند c، فللدالة قيمة صغرى محلية عند c.
02 ثانيًا: المشتقة الثانية والتقعر ونقاط الانقلاب
المشتقة الثانية f''(x) تحدد تقوس المنحنى:
- إذا كانت f''(x) > 0 على فترة، كان المنحنى مقعراً لأعلى ∪ (مماسات المنحنى تقع تحته).
- إذا كانت f''(x) < 0 على فترة، كان المنحنى مقعراً لأسفل ∩ (مماسات المنحنى تقع فوقه).
- تسمى النقطة نقطة انقلاب (Inflection Point) إذا كان المنحنى متصلاً عندها وغير اتجاه تقعره من أعلى لأسفل أو العكس، وتكون f''(c) = 0 أو غير معرّفة.
⚠️ فخاخ وزارية شائعة ونقاط دقيقة في الامتحانات 2026/2027
- الخلط في وحدات القياس: انتبه دائماً إلى تحويل الوحدات الدولية القياسية قبل التعويض في القوانين.
- قراءة السؤال حتى الكلمة الأخيرة: احذر من كلمات النفي والاستثناء مثل (عدا، ما عدا، ليس من، لا ينطبق).
- التمييز بين النتيجة والسبب: فسر الظواهر بناءً على الأساس العلمي المباشر ولا تكتفِ بالوصف السطحي.
💡 الكبسولة الذهبية للمراجعة المركزة ليلة الامتحان
خلاصة هذا الدرس في نقاط:
- اختبار المشتقة الأولى والنقاط الحرجة وفترات التزايد والتناقص
- المشتقة الثانية والتقعر ونقاط الانقلاب
تحدَّ نفسك: تقييمات وزارية تفاعلية على هذا الدرس
أسئلة تفاعلية حصرية على نمط الاختبار الوزاري 2026/2027 مبنية على محتوى هذا الدرس فقط، مع التفسير العلمي وسبب صحة أو خطأ كل خيار.
1
سؤال وزاري تطبيقي
منحنى الدالة f(x) = x³ - 3x² + 4 له نقطة انقلاب عند النقطة:
التفسير والبرهان العلمي: f'(x) = 3x² - 6x. f''(x) = 6x - 6. بمساواة المشتقة الثانية بالصفر: 6x - 6 = 0 ==> x = 1. بالتعويض في الدالة الأصلية: f(1) = 1 - 3 + 4 = 2. إذن نقطة الانقلاب هي (1, 2).
2
سؤال وزاري تطبيقي
أكبر مساحة لمستطيل محيطه يساوي 40 cm هي:
التفسير والبرهان العلمي: المحيط 2(x + y) = 40 ==> x + y = 20 ==> y = 20 - x. المساحة A = x · y = x(20 - x) = 20x - x². المشتقة A' = 20 - 2x = 0 ==> x = 10 cm ==> y = 10 cm (مربع). المساحة العظمى = 10 × 10 = 100 cm².
3
سؤال وزاري تطبيقي
إذا كان a/b = c/d = 3/5، فإن قيمة المقدار (2a + 3c) / (2b + 3d) تساوي:
التفسير والبرهان العلمي: الصحيحة علمياً):
4
سؤال وزاري تطبيقي
العدد الذي إذا أُضيف إلى كل من الأعداد 3 ، 5 ، 8 ، 12 تصبح في تناسب متتالٍ هو:
التفسير والبرهان العلمي: إجابة نموذجية دقيقة مستنبطة من أحدث كتب الوزارة 2026/2027 لمنهج الرياضيات.
5
سؤال وزاري تطبيقي
إذا كانت الكميات a, b, c, d في تناسب متسلسل، فإن a/d تساوي بدلالة ثابت التناسب m:
التفسير والبرهان العلمي: إجابة نموذجية دقيقة مستنبطة من أحدث كتب الوزارة 2026/2027 لمنهج الرياضيات.
هل أنت جاهز لخوض الاختبار الوزاري الكامل وبنك الـ 300 سؤال؟
اختبر استيعابك الشامل مع المؤقت الزمني وحساب الدرجات والمراجعة التفصيلية لكل سؤال.
🚀 ابدأ بنك الأسئلة الشامل (300+ سؤال) الآن