Dabour Hub EGالمنهج المصري الحديث 2026/2027
2-3 تحدب المنحنيات ونقط الانقلاب

2-3 تحدب المنحنيات ونقط الانقلاب

النقطة 3 من 5 — الدرس الثالث: سلوك الدالة والقيم العظمى والصغرى ونقاط الانقلاببنك الأسئلة: 20 سؤال (15 مصوّر)

03 2-3 تحدب المنحنيات ونقط الانقلاب

التحدب

  • تحدب المنحنى: لتكن f دالة قابلة للاشتقاق على ]a,b[، فمنحنى f يكون محدبًا لأسفل على الفترة إذا كانت f′ متزايدة، ويكون محدبًا لأعلى إذا كانت f′ متناقصة.
  • في التحدب لأسفل يتزايد ميل المماس، ويقع المنحنى فوق مماساته.
  • في التحدب لأعلى يتناقص ميل المماس، ويقع المنحنى تحت مماساته.

اختبار المشتقة الثانية للتحدب

  • إذا كانت f قابلة للاشتقاق مرتين على ]a,b[:
  • إذا كان f′′(x)>0 لجميع x∈ ]a,b[ فالمنحنى محدب لأسفل على الفترة.
  • إذا كان f′′(x)<0 لجميع x∈ ]a,b[ فالمنحنى محدب لأعلى على الفترة.
✍️ أمثلة محلولة

مثال 8: عين فترات التحدب لأعلى وفترات التحدب لأسفل لمنحنى f(x)=2−3x2−x3. الحل:

  • f′(x)=−6x−3x2 و f′′(x)=−6−6x=−6(1+x)
  • f′′(x)=0 عندما x=−1
  • عندما x<−1: f′′>0 فالمنحنى محدب لأسفل على ]−∞,−1[
  • عندما x>−1: f′′<0 فالمنحنى محدب لأعلى على ]−1,∞[

نقطة الانقلاب

  • نقطة الانقلاب: إذا كانت f متصلة على فترة مفتوحة تحوي c، وكان لمنحنى f مماس عند النقطة (c,f(c))، وتغير تحدب المنحنى عند هذه النقطة (من محدب لأسفل إلى محدب لأعلى أو العكس)، فإن (c,f(c)) نقطة انقلاب.
  • عند نقطة الانقلاب تكون f′′(c)=0 أو غير موجودة، لكن ذلك وحده لا يكفي، فلا بد من تغير إشارة f′′ على جانبيها.
  • لا توجد نقطة انقلاب إذا لم يوجد مماس للمنحنى عند النقطة.
  • المماس عند نقطة الانقلاب يقطع المنحنى، لأن المنحنى يقع تحت المماس في جهة وفوقه في الجهة الأخرى.
✍️ أمثلة محلولة

مثال 9 (دالة متعددة التعريف): إذا كانت f(x)={x2−4x<−2x3−3x+2x≥−2 فحدد فترات التحدب ونقط الانقلاب ومعادلة المماس عندها. الحل:

  • f(−2)=0 من الجهتين فالدالة متصلة عند x=−2
  • المشتقة اليسرى عند −2 تساوي 2(−2)=−4 واليمنى 3(4)−3=9، وهما مختلفتان فالدالة غير قابلة للاشتقاق عند x=−2
  • f′(x)=2x عندما x<−2 و f′(x)=3x2−3 عندما x>−2
  • f′′(x)=2 عندما x<−2 و f′′(x)=6x عندما x>−2
  • إشارة f′′: موجبة في ]−∞,−2[ وسالبة في ]−2,0[ وموجبة في ]0,∞[
  • المنحنى محدب لأسفل في ]−∞,−2[ وفي ]0,∞[ ومحدب لأعلى في ]−2,0[
  • النقطة (−2,0) ليست نقطة انقلاب رغم تغير التحدب، لعدم وجود مماس عندها.
  • النقطة (0,2) نقطة انقلاب، وميل المماس f′(0)=−3، ومعادلته y−2=−3x

اختبار المشتقة الثانية للقيم القصوى المحلية

  • لتكن f قابلة للاشتقاق مرتين على فترة مفتوحة تحوي c وكانت f′(c)=0:
  • إذا كان f′′(c)<0 فإن f(c) قيمة عظمى محلية.
  • إذا كان f′′(c)>0 فإن f(c) قيمة صغرى محلية.
  • إذا كان f′′(c)=0 فلا يمكن تحديد النوع بهذا الاختبار، ونستخدم اختبار المشتقة الأولى.
✍️ أمثلة محلولة

مثال 10: استخدم اختبار المشتقة الثانية لإيجاد القيم القصوى المحلية للدالة f(x)=x4−8x2+10. الحل:

  • f′(x)=4x3−16x=4x(x2−4) و f′′(x)=12x2−16
  • النقاط الحرجة: x=0 و x=2 و x=−2
  • عند x=0: f′′(0)=−16<0 فالقيمة f(0)=10 عظمى محلية.
  • عند x=2: f′′(2)=32>0 فالقيمة f(2)=16−32+10=−6 صغرى محلية.
  • عند x=−2: f′′(−2)=32>0 فالقيمة f(−2)=−6 صغرى محلية.

📝 بنك أسئلة هذه النقطة

20 سؤال مرتبط بهذه النقطة فقط، منها 15 سؤال بالصور.