الدرس الثالث: سلوك الدالة والقيم العظمى والصغرى ونقاط الانقلاب

تحديد فترات تزايد وتناقص الدالة باستخدام المشتقة الأولى.
إيجاد القيم العظمى والصغرى المحلية والمطلقة، وتحديد فترات التحدب ونقاط الانقلاب باستخدام المشتقة الثانية.
رسم الشكل العام لمنحنى الدالة، وحل مسائل تطبيقية على القيم العظمى والصغرى.

🌳 شجرة المفاهيم

الدرس الثالث: سلوك الدالة والقيم العظمى والصغرى ونقاط الانقلاب
├── 2-1 تزايد وتناقص الدوال
│   ├── التعريف والفكرة
│   ├── اختبار المشتقة الأولى للدوال المطردة
│   ├── خطوات تحديد فترات التزايد والتناقص
│   └── ملاحظات
├── 2-2 القيم العظمى والصغرى (القيم القصوى)
│   ├── النقطة الحرجة
│   ├── القيم العظمى والصغرى المحلية
│   ├── اختبار المشتقة الأولى للقيم المحلية
│   ├── خطوات اختبار المشتقة الأولى
│   ├── القيم القصوى المطلقة على فترة مغلقة
│   └── خطوات إيجاد القيم القصوى المطلقة
├── 2-3 تحدب المنحنيات ونقط الانقلاب
│   ├── التحدب
│   ├── اختبار المشتقة الثانية للتحدب
│   ├── نقطة الانقلاب
│   └── اختبار المشتقة الثانية للقيم القصوى المحلية
├── 2-3 رسم الشكل العام لمنحنى الدالة
│   ├── خطوات دراسة الدالة ورسمها
│   └── دوال لها خط تقارب أفقي
└── 2-4 تطبيقات على القيم العظمى والصغرى
    ├── النمذجة الرياضية
    └── ملاحظة على حل المسائل التطبيقية

01 2-1 تزايد وتناقص الدوال

التعريف والفكرة

الدالة المتزايدة على فترة هي التي تزداد قيمتها كلما زادت $x$ ، ومماس منحناها يصنع زاوية حادة مع الاتجاه الموجب لمحور السينات.
الدالة المتناقصة على فترة هي التي تقل قيمتها كلما زادت $x$ ، ومماس منحناها يصنع زاوية منفرجة مع الاتجاه الموجب لمحور السينات.

اختبار المشتقة الأولى للدوال المطردة

لتكن $f$ دالة قابلة للاشتقاق على الفترة $] a, b [$ :
إذا كان $f^{'} (x) > 0$ لجميع قيم $x \in] a, b [$ فإن $f$ متزايدة على الفترة $] a, b [$ .
إذا كان $f^{'} (x) < 0$ لجميع قيم $x \in] a, b [$ فإن $f$ متناقصة على الفترة $] a, b [$ .

خطوات تحديد فترات التزايد والتناقص

نوجد $f^{'} (x)$ ونتحقق من اتصال الدالة وقابليتها للاشتقاق.
نحل المعادلة $f^{'} (x) = 0$ ونحدد قيم $x$ التي تكون عندها المشتقة غير موجودة.
هذه القيم هي التي تفصل بين فترات التزايد والتناقص، فنقسم مجال الدالة بها إلى فترات.
نبحث إشارة $f^{'} (x)$ في كل فترة بجدول التغيرات، فتكون الدالة متزايدة حيث $f^{'} > 0$ ومتناقصة حيث $f^{'} < 0$ .

✍️ أمثلة محلولة

مثال 1: حدد فترات التزايد وفترات التناقص للدالة $f (x) = x^{3} - 3 x + 2$ . الحل:

$f$ كثيرة حدود متصلة وقابلة للاشتقاق على $R$ ، و $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 = 3 (x - 1) (x + 1)$
$f^{'} (x) = 0$ عندما $x = - 1$ أو $x = 1$
إشارة $f^{'}$ : موجبة في $] - \infty, - 1 [$ وسالبة في $] - 1, 1 [$ وموجبة في $] 1, \infty [$
$f$ متزايدة على $] - \infty, - 1]$ وعلى $[1, \infty [$ ، ومتناقصة على $[- 1, 1]$

ملاحظات

عند رسم الدالة ببرنامج رسومي نجد أن سلوك المنحنى يطابق جدول التغيرات.
قيم $x$ التي تفصل بين فترات التزايد والتناقص هي التي تكون عندها المشتقة الأولى تساوي صفرًا أو غير موجودة.

02 2-2 القيم العظمى والصغرى (القيم القصوى)

النقطة الحرجة

النقطة الحرجة: إذا كانت $f$ دالة متصلة على فترة $[a, b]$ فإن $(c, f (c))$ نقطة حرجة إذا كان $c \in] a, b [$ وكان $f^{'} (c) = 0$ أو $f^{'} (c)$ غير موجودة (أي أن الدالة غير قابلة للاشتقاق عند $x = c$ ).
تسمى النقطة التي تكون عندها $f^{'} (c) = 0$ أحيانًا نقطة التوقف.
قد تكون الدالة متصلة عند $c$ وغير قابلة للاشتقاق (مثلًا المشتقة اليمنى لا تساوي اليسرى)، وتبقى نقطة حرجة.

القيم العظمى والصغرى المحلية

قيمة عظمى محلية: $f (c)$ قيمة عظمى محلية إذا وُجدت فترة مفتوحة تحوي $c$ بحيث $f (x) \leq f (c)$ لكل $x$ في الفترة.
قيمة صغرى محلية: $f (c)$ قيمة صغرى محلية إذا وُجدت فترة مفتوحة تحوي $c$ بحيث $f (x) \geq f (c)$ لكل $x$ في الفترة.
القيمة العظمى أو الصغرى المحلية تسمى قيمة قصوى محلية، وقد توجد عدة قيم عظمى محلية وعدة قيم صغرى محلية للدالة.
نظرية: إذا كانت $f$ متصلة على $[a, b]$ وللدالة قيمة عظمى أو صغرى محلية عند $c \in] a, b [$ وكانت $f$ قابلة للاشتقاق عندها فإن $f^{'} (c) = 0$ .

اختبار المشتقة الأولى للقيم المحلية

لتكن $(c, f (c))$ نقطة حرجة وكانت $f$ متصلة عند $c$ ووُجدت فترة مفتوحة حول $c$ :
إذا تغيرت إشارة $f^{'} (x)$ من موجبة إلى سالبة (عندما $x < c$ ثم $x > c$ ) فإن $f (c)$ قيمة عظمى محلية.
إذا تغيرت إشارة $f^{'} (x)$ من سالبة إلى موجبة فإن $f (c)$ قيمة صغرى محلية.
إذا لم تتغير إشارة $f^{'} (x)$ على جانبي $c$ فلا توجد للدالة قيمة عظمى ولا صغرى عند $c$ .

خطوات اختبار المشتقة الأولى

نحدد النقاط الحرجة (حيث $f^{'} = 0$ أو غير موجودة).
نبحث إشارة $f^{'} (x)$ على جانبي كل نقطة حرجة بجدول.
نحدد نوع كل قيمة قصوى من تغير الإشارة، ونحسب قيمتها بالتعويض في $f$ .

✍️ أمثلة محلولة

مثال 4: أوجد القيم العظمى والصغرى المحلية للدالة $f (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 9 x - 7$ . الحل:

$f^{'} (x) = 3 x^{2} + 6 x - 9 = 3 (x + 3) (x - 1)$
$f^{'} (x) = 0$ عندما $x = - 3$ أو $x = 1$
حول $x = - 3$ : تتغير إشارة $f^{'}$ من موجبة إلى سالبة، فتكون $f (- 3) = - 27 + 27 + 27 - 7 = 20$ قيمة عظمى محلية.
حول $x = 1$ : تتغير إشارة $f^{'}$ من سالبة إلى موجبة، فتكون $f (1) = 1 + 3 - 9 - 7 = - 12$ قيمة صغرى محلية.
النقطتان الحرجتان $(- 3, 20)$ و $(1, - 12)$

القيم القصوى المطلقة على فترة مغلقة

إذا كانت $f$ معرفة على $[a, b]$ وكانت $c \in [a, b]$ فإن:
$f (c)$ قيمة صغرى مطلقة إذا كان $f (c) \leq f (x)$ لكل $x \in [a, b]$ .
$f (c)$ قيمة عظمى مطلقة إذا كان $f (c) \geq f (x)$ لكل $x \in [a, b]$ .
القيم القصوى تحدث عند نقطة داخل الفترة أو عند حدودها، وتسمى النقطة الحدية عندئذ نقطة قصوى حدية.
نظرية: كل دالة متصلة على فترة مغلقة $[a, b]$ لها قيمة عظمى مطلقة وقيمة صغرى مطلقة على هذه الفترة.

خطوات إيجاد القيم القصوى المطلقة

نحسب $f (a)$ و $f (b)$ .
نوجد النقاط الحرجة داخل الفترة ونحسب قيمة الدالة عند كل منها.
نقارن كل القيم: أكبرها قيمة عظمى مطلقة وأصغرها قيمة صغرى مطلقة.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 7: أوجد القيم القصوى المطلقة للدالة $f (x) = x^{3} - 12 x + 12$ على $[- 3, 3]$ . الحل:

$f (- 3) = - 27 + 36 + 12 = 21$ و $f (3) = 27 - 36 + 12 = 3$
$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 12 = 3 (x - 2) (x + 2)$ فالنقطتان الحرجتان $x = 2$ و $x = - 2$ داخل الفترة
$f (2) = 8 - 24 + 12 = - 4$ و $f (- 2) = - 8 + 24 + 12 = 28$
بمقارنة القيم $21, 3, - 4, 28$ :
القيمة العظمى المطلقة $= 28$ والقيمة الصغرى المطلقة $= - 4$

03 2-3 تحدب المنحنيات ونقط الانقلاب

التحدب

تحدب المنحنى: لتكن $f$ دالة قابلة للاشتقاق على $] a, b [$ ، فمنحنى $f$ يكون محدبًا لأسفل على الفترة إذا كانت $f^{'}$ متزايدة، ويكون محدبًا لأعلى إذا كانت $f^{'}$ متناقصة.
في التحدب لأسفل يتزايد ميل المماس، ويقع المنحنى فوق مماساته.
في التحدب لأعلى يتناقص ميل المماس، ويقع المنحنى تحت مماساته.

اختبار المشتقة الثانية للتحدب

إذا كانت $f$ قابلة للاشتقاق مرتين على $] a, b [$ :
إذا كان $f^{''} (x) > 0$ لجميع $x \in] a, b [$ فالمنحنى محدب لأسفل على الفترة.
إذا كان $f^{''} (x) < 0$ لجميع $x \in] a, b [$ فالمنحنى محدب لأعلى على الفترة.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 8: عين فترات التحدب لأعلى وفترات التحدب لأسفل لمنحنى $f (x) = 2 - 3 x^{2} - x^{3}$ . الحل:

$f^{'} (x) = - 6 x - 3 x^{2}$ و $f^{''} (x) = - 6 - 6 x = - 6 (1 + x)$
$f^{''} (x) = 0$ عندما $x = - 1$
عندما $x < - 1$ : $f^{''} > 0$ فالمنحنى محدب لأسفل على $] - \infty, - 1 [$
عندما $x > - 1$ : $f^{''} < 0$ فالمنحنى محدب لأعلى على $] - 1, \infty [$

نقطة الانقلاب

نقطة الانقلاب: إذا كانت $f$ متصلة على فترة مفتوحة تحوي $c$ ، وكان لمنحنى $f$ مماس عند النقطة $(c, f (c))$ ، وتغير تحدب المنحنى عند هذه النقطة (من محدب لأسفل إلى محدب لأعلى أو العكس)، فإن $(c, f (c))$ نقطة انقلاب.
عند نقطة الانقلاب تكون $f^{''} (c) = 0$ أو غير موجودة، لكن ذلك وحده لا يكفي، فلا بد من تغير إشارة $f^{''}$ على جانبيها.
لا توجد نقطة انقلاب إذا لم يوجد مماس للمنحنى عند النقطة.
المماس عند نقطة الانقلاب يقطع المنحنى، لأن المنحنى يقع تحت المماس في جهة وفوقه في الجهة الأخرى.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 9 (دالة متعددة التعريف): إذا كانت $f (x) = {\begin{cases} x^{2} - 4 & x < - 2 \\ x^{3} - 3 x + 2 & x \geq - 2 \end{cases}$ فحدد فترات التحدب ونقط الانقلاب ومعادلة المماس عندها. الحل:

$f (- 2) = 0$ من الجهتين فالدالة متصلة عند $x = - 2$
المشتقة اليسرى عند $- 2$ تساوي $2 (- 2) = - 4$ واليمنى $3 (4) - 3 = 9$ ، وهما مختلفتان فالدالة غير قابلة للاشتقاق عند $x = - 2$
$f^{'} (x) = 2 x$ عندما $x < - 2$ و $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3$ عندما $x > - 2$
$f^{''} (x) = 2$ عندما $x < - 2$ و $f^{''} (x) = 6 x$ عندما $x > - 2$
إشارة $f^{''}$ : موجبة في $] - \infty, - 2 [$ وسالبة في $] - 2, 0 [$ وموجبة في $] 0, \infty [$
المنحنى محدب لأسفل في $] - \infty, - 2 [$ وفي $] 0, \infty [$ ومحدب لأعلى في $] - 2, 0 [$
النقطة $(- 2, 0)$ ليست نقطة انقلاب رغم تغير التحدب، لعدم وجود مماس عندها.
النقطة $(0, 2)$ نقطة انقلاب، وميل المماس $f^{'} (0) = - 3$ ، ومعادلته $y - 2 = - 3 x$

اختبار المشتقة الثانية للقيم القصوى المحلية

لتكن $f$ قابلة للاشتقاق مرتين على فترة مفتوحة تحوي $c$ وكانت $f^{'} (c) = 0$ :
إذا كان $f^{''} (c) < 0$ فإن $f (c)$ قيمة عظمى محلية.
إذا كان $f^{''} (c) > 0$ فإن $f (c)$ قيمة صغرى محلية.
إذا كان $f^{''} (c) = 0$ فلا يمكن تحديد النوع بهذا الاختبار، ونستخدم اختبار المشتقة الأولى.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 10: استخدم اختبار المشتقة الثانية لإيجاد القيم القصوى المحلية للدالة $f (x) = x^{4} - 8 x^{2} + 10$ . الحل:

$f^{'} (x) = 4 x^{3} - 16 x = 4 x (x^{2} - 4)$ و $f^{''} (x) = 12 x^{2} - 16$
النقاط الحرجة: $x = 0$ و $x = 2$ و $x = - 2$
عند $x = 0$ : $f^{''} (0) = - 16 < 0$ فالقيمة $f (0) = 10$ عظمى محلية.
عند $x = 2$ : $f^{''} (2) = 32 > 0$ فالقيمة $f (2) = 16 - 32 + 10 = - 6$ صغرى محلية.
عند $x = - 2$ : $f^{''} (- 2) = 32 > 0$ فالقيمة $f (- 2) = - 6$ صغرى محلية.

04 2-3 رسم الشكل العام لمنحنى الدالة

خطوات دراسة الدالة ورسمها

نحدد مجال الدالة ونتحقق من التماثل: منحنى الدالة الزوجية متماثل حول محور الصادات، ومنحنى الدالة الفردية متماثل حول نقطة الأصل.
نوجد $f^{'} (x)$ ونحدد النقاط الحرجة وفترات التزايد والتناقص والقيم العظمى والصغرى المحلية.
نوجد $f^{''} (x)$ ونحدد فترات التحدب ونقط الانقلاب.
نعد جدولًا يجمع إشارة $f^{'}$ وسلوك $f$ وإشارة $f^{''}$ وتحدب المنحنى.
نوجد نقط تقاطع المنحنى مع محوري الإحداثيات إن أمكن.
نرسم المنحنى بتوصيل النقط الهامة، ويمكن الاستعانة بنقاط إضافية لتحسين الرسم.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 12: ارسم الشكل العام لمنحنى $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 4$ . الحل:

$f$ كثيرة حدود مجالها $R$ ، وليست زوجية ولا فردية.
$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x = 3 x (x - 2)$ فالنقطتان الحرجتان $x = 0$ و $x = 2$
$f$ متزايدة على $] - \infty, 0]$ وعلى $[2, \infty [$ ومتناقصة على $[0, 2]$
$f^{''} (x) = 6 x - 6 = 6 (x - 1)$ : المنحنى محدب لأعلى على $] - \infty, 1 [$ ومحدب لأسفل على $] 1, \infty [$
النقطة $(1, 2)$ نقطة انقلاب.
عند $x = 0$ قيمة عظمى محلية $f (0) = 4$ ، وعند $x = 2$ قيمة صغرى محلية $f (2) = 0$
التقاطع مع المحورين: $(0, 4)$ و $x^{3} - 3 x^{2} + 4 = (x + 1) (x - 2)^{2} = 0$ فالنقطتان $(- 1, 0)$ و $(2, 0)$
نقطة إضافية: $(3, 4)$

وجه المقارنة	$x < 0$	$0 < x < 1$	$1 < x < 2$	$x > 2$
إشارة $f^{'}$	+	−	−	+
سلوك $f$	متزايدة	متناقصة	متناقصة	متزايدة
إشارة $f^{''}$	−	−	+	+
التحدب	لأعلى	لأعلى	لأسفل	لأسفل

✍️ أمثلة محلولة

مثال 13 (رسم من الخواص): ارسم شكلًا عامًّا لمنحنى دالة $f$ متصلة على $[1, 7]$ إذا علمت أن $f (1) = - 2$ و $f (5) = 4$ و $f^{'} (5) = 0$ و $f^{'} (x) > 0$ عندما $x < 5$ و $f^{'} (x) < 0$ عندما $x > 5$ و $f^{''} (x) < 0$ لكل $x \in] 1, 7 [$ . الحل:

نعين النقطتين $(1, - 2)$ و $(5, 4)$ في الفترة $[1, 7]$ .
عند $x = 5$ المماس أفقي، والدالة متزايدة على $[1, 5]$ ومتناقصة على $[5, 7]$ ، فالنقطة $(5, 4)$ قيمة عظمى.
$f^{''} < 0$ في كل الفترة فالمنحنى محدب لأعلى فيها.
يرتفع المنحنى من $(1, - 2)$ إلى القمة $(5, 4)$ بتقعر لأسفل ثم ينخفض قليلًا حتى $x = 7$ .

دوال لها خط تقارب أفقي

بعض الدوال يصعب رسم منحناها مباشرة، ويمكن استخدام برنامج رسومي لدراسة خواصها.
مثال: $f (x) = \frac{(x + 1)^{2}}{1 + x^{2}}$ لها نقطتان حرجتان عند $x = - 1$ و $x = 1$ .
$f (- 1) = 0$ قيمة صغرى محلية، و $f (1) = 2$ قيمة عظمى محلية.
يقترب المنحنى من المستقيم $y = 1$ عندما $∣ x ∣ \to \infty$ ، ويسمى خط التقارب الأفقي ومعادلته $y = a$ حيث $a = \lim_{∣ x ∣ \to \infty} f (x)$ .

05 2-4 تطبيقات على القيم العظمى والصغرى

النمذجة الرياضية

النمذجة الرياضية هي صياغة مشكلة وفق علاقات رياضية تسمى النموذج الرياضي.
مراحل حل المشكلة:
تحديد المشكلة: الهدف (أكبر مساحة، أقل تكلفة، أكبر حجم...) والقيود والمعطيات.
تحديد المجاهيل التي يجب إيجاد قيمتها.
بيان العلاقات بين المجاهيل (معادلات أو متباينات).
صياغة النموذج الرياضي: تمثيل المشكلة في صورة دالة في متغير واحد.
حل النموذج بحساب التفاضل: نوجد النقاط الحرجة ونختبرها بالمشتقة الأولى أو الثانية، ونفسر النتائج وفق طبيعة المسألة.
نتأكد من قيمة المتغير أنها تقع في مجال المسألة، ونقيم النتائج والبدائل.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 14 (أكبر مساحة): أوجد بعدي مستطيل له أكبر مساحة يمكن رسمه داخل مثلث طول قاعدته 16 سم وارتفاعه 12 سم، بحيث ينطبق أحد أضلاعه على قاعدة المثلث وتقع رأسا الضلع المقابل على الضلعين الآخرين للمثلث.
الحل:

نفرض أن عرض المستطيل $x$ سم وطوله $y$ سم ومساحته $A$ سم²
$A = x y$ ، ومن تشابه المثلثين: $\frac{y}{16} = \frac{12 - x}{12}$ ومنها $y = \frac{4}{3} (12 - x)$ حيث $x \in] 0, 12 [$
$A = \frac{4}{3} x (12 - x) = 16 x - \frac{4}{3} x^{2}$
$A^{'} (x) = 16 - \frac{8}{3} x = 0$ ومنها $x = 6$ وهي نقطة حرجة وحيدة
$A^{''} (x) = - \frac{8}{3} < 0$ فتعطي القيمة العظمى المطلقة.
عند $x = 6$ : $y = \frac{4}{3} (12 - 6) = 8$
أكبر مساحة عندما يكون بعدا المستطيل 6 سم و 8 سم، والمساحة $= 48$ سم²

ملاحظة على حل المسائل التطبيقية

بعد الوصول إلى قيمة المتغير نتحقق أنها تقع في المجال المنطقي للمسألة.
إذا وُجدت نقطة حرجة وحيدة داخل المجال ومشتقتها الثانية موجبة أو سالبة فهي القيمة الصغرى أو العظمى المطلقة.

تحدَّ نفسك: تقييمات وزارية تفاعلية على هذا الدرس

أسئلة تفاعلية حصرية على نمط الاختبار الوزاري 2026/2027 مبنية على محتوى هذا الدرس فقط، مع التفسير العلمي وسبب صحة أو خطأ كل خيار.

سؤال وزاري تطبيقي

منحنى الدالة f(x) = x³ - 3x² + 4 له نقطة انقلاب عند النقطة:

سؤال وزاري تطبيقي

أكبر مساحة لمستطيل محيطه يساوي 40 cm هي:

سؤال وزاري تطبيقي

إذا كان a/b = c/d = 3/5، فإن قيمة المقدار (2a + 3c) / (2b + 3d) تساوي:

سؤال وزاري تطبيقي

العدد الذي إذا أُضيف إلى كل من الأعداد 3 ، 5 ، 8 ، 12 تصبح في تناسب متتالٍ هو:

سؤال وزاري تطبيقي

إذا كانت الكميات a, b, c, d في تناسب متسلسل، فإن a/d تساوي بدلالة ثابت التناسب m:

هل أنت جاهز لخوض الاختبار الوزاري الكامل وبنك الـ 300 سؤال؟

اختبر استيعابك الشامل مع المؤقت الزمني وحساب الدرجات والمراجعة التفصيلية لكل سؤال.

🚀 ابدأ بنك الأسئلة الشامل (300+ سؤال) الآن

🧭 نقاط الدرس — اختر نقطة وذاكرها مع بنك أسئلتها

🌳 شجرة المفاهيم

01 2-1 تزايد وتناقص الدوال

التعريف والفكرة

اختبار المشتقة الأولى للدوال المطردة

خطوات تحديد فترات التزايد والتناقص

ملاحظات

02 2-2 القيم العظمى والصغرى (القيم القصوى)

النقطة الحرجة

القيم العظمى والصغرى المحلية

اختبار المشتقة الأولى للقيم المحلية

خطوات اختبار المشتقة الأولى

القيم القصوى المطلقة على فترة مغلقة

خطوات إيجاد القيم القصوى المطلقة

03 2-3 تحدب المنحنيات ونقط الانقلاب

التحدب

اختبار المشتقة الثانية للتحدب

نقطة الانقلاب

اختبار المشتقة الثانية للقيم القصوى المحلية

04 2-3 رسم الشكل العام لمنحنى الدالة

خطوات دراسة الدالة ورسمها

دوال لها خط تقارب أفقي

05 2-4 تطبيقات على القيم العظمى والصغرى

النمذجة الرياضية

ملاحظة على حل المسائل التطبيقية

تحدَّ نفسك: تقييمات وزارية تفاعلية على هذا الدرس

هل أنت جاهز لخوض الاختبار الوزاري الكامل وبنك الـ 300 سؤال؟

أسئلة مستوى صعب على الدرس (نظام الامتحان)