4-1-8 الانحراف المعياري لمجموعة من القيم

• الانحراف المعياري σ هو الجذر التربيعي لمتوسط مربعات انحرافات القيم عن وسطها الحسابي.
• σ = √(() Σ (x – x
• ̄)² ÷ n )

• نحسب الوسط x̄.
• نحسب (x − x̄) لكل قيمة ثم نربعها.
• نجمع المربعات ونقسم على n.
• نأخذ الجذر التربيعي.
• لاحظ مجموع الانحرافات (x − x̄) يساوي صفرًا دائمًا، ولذلك نربع الانحرافات.
• علّل نربع الانحرافات لإزالة الإشارات السالبة فلا يلغي بعضها بعضًا.

✍️ أمثلة محلولة

1. أوجد σ للقيم 4 ، 6 ، 8 ، 10 ، 12.
2. الحل:

المجموع = 40

التباين = 40 ÷ 5 = 8

σ = √8 ≈ 2.83

✍️ أمثلة محلولة

1. أوجد σ للقيم 2 ، 4 ، 4 ، 4 ، 5 ، 5 ، 7 ، 9.
2. الحل:

المجموع = 32

σ = √(32 ÷ 8) = √4 = 2

✍️ أمثلة محلولة

1. أوجد σ للقيم 12 ، 15 ، 13 ، 17 ، 18.
2. الحل:

المجموع = 26

σ = √(26 ÷ 5) = √5.2 ≈ 2.28

✍️ أمثلة محلولة

1. أوجد σ للقيم 1 ، 3 ، 5 ، 7.
2. الحل:

المجموع = 20

σ = √(20 ÷ 4) = √5 ≈ 2.24

1. جمع الانحرافات دون تربيعها (الناتج صفر).
2. نسيان الجذر في النهاية.
3. تربيع الوسط بدل الانحراف.

4-1-9 الانحراف المعياري لتوزيع تكراري بسيط

1. عندما تتكرر القيم نستخدم التكرار f في القانونين.
2. x̄ = Σ(f × x) ÷ Σf
3. σ = √(() Σ f(x – x
4. ̄)² ÷ Σf )

✍️ أمثلة محلولة

• مثال 1 أوجد σ للتوزيع: القيم 2 ، 4 ، 6 ، 8 وتكراراتها 1 ، 3 ، 4 ، 2.
• الحل:

Σf = 10

Σ f x = 2 + 12 + 24 + 16 = 54

المجموع = 32.4

σ = √3.24 = 1.8

✍️ أمثلة محلولة

1. أوجد الوسط وσ للقيم 1 ، 2 ، 3 بتكرارات 2 ، 3 ، 1.
2. الحل:

Σf = 6 ،

Σ f x = 2 + 6 + 3 = 11

x̄ =

11 ÷ 6 ≈ 1.83

المجموع ≈ 2.83

σ = √(2.83 ÷ 6) ≈ 0.69

✍️ أمثلة محلولة

1. إذا كان Σf = 20 و Σ f(x − x̄)² = 80 فما σ؟
2. الحل:

σ = √(80 ÷ 20)

= √4

= 2

1. نسيان ضرب مربع الانحراف في التكرار.
2. القسمة على عدد القيم المختلفة بدل Σf.

4-1-10 الانحراف المعياري لتوزيع تكراري ذي مجموعات

1. نمثل كل مجموعة بمركزها ثم نطبق قانوني التوزيع التكراري.
2. مركز المجموعة = (الحد الأدنى + الحد الأعلى) ÷ 2

• نحسب المراكز.
• نكمل الجدول كما في التوزيع البسيط.
• علّل نستخدم المراكز لأن القيم الفعلية داخل المجموعة غير معلومة فنمثلها بقيمة وسطى.

✍️ أمثلة محلولة

Σf = 20

Σ f x = 470

x̄ = 23.5

المجموع = 2055

σ = √102.75 ≈ 10.14

✍️ أمثلة محلولة

Σ f x = 4270

x̄ = 85.4

مجموع f(x − x̄)² = 6792

σ = √135.84 ≈ 11.66

✍️ أمثلة محلولة

• مثال 3 المجموعات 0 – ، 10 – ، 20 – ، 30 – 40 بتكرارات 4 ، 6 ، 7 ، 3.
• الحل:

Σ f x = 390

x̄ = 19.5

المجموع = 1895

σ = √94.75 ≈ 9.73

1. استخدام الحد الأدنى بدل المركز.
2. نسيان تكرار كل مجموعة.

4-1-11 استخدام الآلة الحاسبة العلمية

• تحسب الآلة الحاسبة الوسط والانحراف المعياري بعد إدخال القيم في وضع الإحصاء.

• نختار وضع STAT ثم متغير واحد.
• نُدخل القيم (أو المراكز مع التكرارات).
• نقرأ x̄ و σx.
• لاحظ نستخدم σx (انحراف المجتمع) لأنه القسمة على n كما في هذا الكتاب.

✍️ أمثلة محلولة

1. أوجد σ للقيم 4 ، 6 ، 8 ، 10 ، 12 بالآلة.
2. الحل:
3. ندخل القيم.

σx ≈ 2.83

• يطابق الحل اليدوي.

✍️ أمثلة محلولة

• مثال 2 أدخل المراكز 65 ، 75 ، 85 ، 95 ، 105 والتكرارات 5 ، 11 ، 18 ، 9 ، 7.
• الحل:

x̄ = 85.4

σx ≈ 11.66

1. اختلفت إجابتك قليلًا عن إجابة الآلة. ماذا تفعل؟
2. الحل:
3. نتأكد من اختيار σx.
4. نتأكد من إدخال التكرارات.
5. نقارن بعد التقريب.
6. الأخطاء الشائعة:

1. اختيار انحراف العينة بدل المجتمع.
2. بقاء بيانات قديمة.