المناهج الدراسية

الإحصاء — الصف الثالث الثانوي

الوحدة الأولى: الارتباط والانحدار

0/14

الوحدة الثانية: مقاييس إحصائية متقدمة

0/7

الوحدة الثالثة: الاحتمال

0/7

الوحدة الرابعة: المتغيرات العشوائية والاحتمال

0/14

الوحدة الخامسة: التوزيع الطبيعي

0/7

نص الدرس

الاحتمال الشرطي والأحداث المستقلة

الإحصاء — الصف الثالث الثانوي

الاحتمال الشرطي والأحداث المستقلة

الشرح

أقسام الدرس

مراجعة: فضاء العينة والأحداث الاحتمال الشرطي قانون الضرب الأحداث المستقلة والأحداث المتنافية أمثلة محلولة أخطاء شائعة ملخص الدرس

مراجعة: فضاء العينة والأحداث

فضاء العينة (S) هو مجموعة كل النواتج الممكنة للتجربة العشوائية.
الحدث مجموعة جزئية منه، واحتمال الحدث في حالة النواتج المتساوية الاحتمال يُحسب بالعلاقة:

ل(أ) = عدد نواتج الحدث ÷ عدد نواتج فضاء العينة

ونستخدم الرموز←الاتحاد أ ∪ ب (وقوع أحدهما على الأقل)، والتقاطع أ ∩ ب (وقوعهما معاً)، والمتمم أ′ (عدم وقوع أ). ونستخدم قانون الاتحاد: ل(أ ∪ ب) = ل(أ) + ل(ب) − ل(أ ∩ ب).

الاحتمال الشرطي والأحداث المستقلة · 1 / 7

الجزء التالي

الاحتمال الشرطي

الاحتمال الشرطي هو احتمال وقوع الحدث أ بشرط أو علماً بأن الحدث ب قد وقع فعلاً، ويُكتب ل(أ | ب).
وفكرته أن فضاء العينة يتقلص إلى الحدث ب، فنبحث عن نواتج أ داخل ب فقط.
ويُحسب بالقانون:

ل(أ | ب) = ل(أ ∩ ب) ÷ ل(ب)، حيث ل(ب) ≠ 0←ويمكن أيضاً حسابه من جدول تكراري بأن نأخذ الصف أو العمود الخاص بالحدث ب فقط، ثم نحسب نسبة ما يحققه أ داخل هذا الصف أو العمود.

كيس به 3 كرات حمراء وكرتان زرقاوان يبين الاحتمال الشرطي←احتمال الحمراء الثانية بعد الأولى 2/4.: الاحتمال الشرطي

الاحتمال الشرطي والأحداث المستقلة · 2 / 7

الجزء السابق الجزء التالي

قانون الضرب

من قانون الاحتمال الشرطي نستنتج قانون الضرب:

ل(أ ∩ ب) = ل(ب) × ل(أ | ب) = ل(أ) × ل(ب | أ)

ويفيد هذا القانون في المسائل التي تحدث على مراحل، مثل السحب من كيس دون إرجاع.
ويمكن رسم شكل الشجرة لتوضيح الاحتمالات في كل مرحلة، ثم نضرب الاحتمالات على كل فرع.
إذا كان الحدثان مستقلين، فإن P(A|B) = P(A)، فيصبح قانون الضرب في هذه الحالة P(A ∩ B) = P(A) × P(B).
أما إذا كان الحدثان متنافيين فإن تقاطعهما خالٍ، واحتمال تقاطعهما يساوي صفراً.

الاحتمال الشرطي والأحداث المستقلة · 3 / 7

الجزء السابق الجزء التالي

الأحداث المستقلة والأحداث المتنافية

الحدثان المستقلان هما حدثان وقوع أحدهما لا يؤثر إطلاقاً في احتمال وقوع الآخر، ويمكن أن يقعا معاً.
أما الحدثان المتنافيان فيستحيل وقوعهما معاً في التجربة نفسها.
والجدول التالي يوضح الفرق:

وجه المقارنة	الأحداث المستقلة	الأحداث المتنافية
المعنى	وقوع أحدهما لا يغير احتمال الآخر	يستحيل وقوعهما معاً
احتمال التقاطع	ل(أ ∩ ب) = ل(أ) × ل(ب)	ل(أ ∩ ب) = 0
الاحتمال الشرطي	ل(أ \| ب) = ل(أ)	ل(أ \| ب) = 0

ولاختبار استقلال حدثين نتحقق من أحد الشرطين المتكافئين:

ل(أ ∩ ب) = ل(أ) × ل(ب)، أو

ل(أ | ب) = ل(أ)، مع العلم بأن ل(ب) ≠ 0.
وتنبه إلى أن الحدثين المتنافيين غير مستقلين إلا إذا كان احتمال أحدهما صفراً.

الاحتمال الشرطي والأحداث المستقلة · 4 / 7

الجزء السابق الجزء التالي

أمثلة محلولة

المثال الأول←ألقي حجر نرد منتظم مرة واحدة. ليكن أ: ظهور عدد زوجي، وليكن ب: ظهور عدد أكبر من 3. أوجد ل(أ | ب)، وهل الحدثان مستقلان؟

فضاء العينة S = {1، 2، 3، 4، 5، 6}. والحدث ب = {4، 5، 6}، وعدد عناصره 3، إذن ل(ب) = 3 ÷ 6 = 1 ÷ 2.
أ ∩ ب = {4، 6}، إذن ل(أ ∩ ب) = 2 ÷ 6 = 1 ÷ 3.
ل(أ | ب) = (1 ÷ 3) ÷ (1 ÷ 2) = 2 ÷ 3. أي أنه داخل الأعداد الأكبر من 3 تكون ثلثا النواتج زوجية.
ل(أ) = 1 ÷ 2، و ل(أ) × ل(ب) = 1 ÷ 4 ≠ 1 ÷ 3، إذن الحدثان غير مستقلين.
المثال الثاني في مدرسة 100 طالب: 60 بنيناً و40 بنتاً. من البنين 36 يحبون الشطرنج، ومن البنات 16 يحببن الشطرنج. اختير طالب عشوائياً. أوجد احتمال أن يكون الطالب بنتاً علماً بأنه يحب الشطرنج، ثم اختبر هل حب الشطرنج مستقل عن كون الطالب بنيناً أم بنتاً.

عدد محبي الشطرنج = 36 + 16 = 52.
ل(بنت | يحب الشطرنج) = 16 ÷ 52 = 4 ÷ 13 ≈ 0.31.
ل(يحب الشطرنج | بنين) = 36 ÷ 60 = 0.6، بينما ل(يحب الشطرنج) = 52 ÷ 100 = 0.52.
بما أن 0.6 ≠ 0.52، فالحدثان غير مستقلين.
المثال الثالث سُحبت بطاقة واحدة من 52 بطاقة. ليكن أ: البطاقة ملك، وليكن ب: البطاقة من نوع القلب. بيّن هل الحدثان مستقلان.

ل(أ) = 4 ÷ 52 = 1 ÷ 13.
ل(ب) = 13 ÷ 52 = 1 ÷ 4.
ل(أ ∩ ب) = بطاقة ملك القلب فقط = 1 ÷ 52.
ل(أ) × ل(ب) = 1 ÷ 13 × 1 ÷ 4 = 1 ÷ 52، وهو يساوي ل(أ ∩ ب). إذن الحدثان مستقلان.
ويتحقق أيضاً ل(أ | ب) = (1 ÷ 52) ÷ (1 ÷ 4) = 1 ÷ 13 = ل(أ).
المثال الرابع يحتوي كيس على 5 كرات حمراء و3 كرات زرقاء. سُحبت كرتان واحدة تلو الأخرى دون إرجاع. أوجد احتمال أن تكون الكرتان حمراوين، ثم أوجد احتمال أن تكون الكرة الثانية حمراء.

ليكن ح1 الكرة الأولى حمراء، و ح2: الكرة الثانية حمراء. عدد الكرات الكلي 8.
ل(ح1) = 5 ÷ 8.
بعد سحب كرة حمراء يبقى 4 حمراء من أصل 7 كرات، إذن ل(ح2 | ح1) = 4 ÷ 7.
ل(ح1 ∩ ح2) = 5 ÷ 8 × 4 ÷ 7 = 20 ÷ 56 = 5 ÷ 14 ≈ 0.36.
لإيجاد ل(ح2) نقسم الحالات إذا كانت الأولى زرقاء، فإن ل(ح2 | زرقاء أولاً) = 5 ÷ 7، وإذا كانت الأولى حمراء فإن ل(ح2 | ح1) = 4 ÷ 7.
ل(ح2) = (5 ÷ 8 × 4 ÷ 7) + (3 ÷ 8 × 5 ÷ 7) = 20 ÷ 56 + 15 ÷ 56 = 35 ÷ 56 = 5 ÷ 8.
وهذا يعني أن احتمال الكرة الثانية حمراء يساوي احتمال الكرة الأولى حمراء، رغم أن السحب دون إرجاع.

الاحتمال الشرطي والأحداث المستقلة · 5 / 7

الجزء السابق الجزء التالي

أخطاء شائعة

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
قسمة ل(أ ∩ ب) على ل(أ) بدلاً من ل(ب)	في ل(أ \| ب) يكون المقام هو احتمال الحدث المشروط ب	يكونالمقاماحتمالالحدث
الخلط بين الاستقلال والتنافي	المتنافيان لا يقعان معاً أما المستقلان فيمكن أن يقعا معاً	المتنافيانيقعانالمستقلانفيمكن
افتراض الاستقلال دون اختبار	يجب التحقق من أن ل(أ ∩ ب) = ل(أ) × ل(ب) قبل الحكم	التحققالحكم
نسيان تغيّر فضاء العينة في السحب دون إرجاع	بعد كل سحب يتغير عدد الكرات الكلي	يتغيرالكراتالكلي
اعتبار ل(أ \| ب) = ل(ب \| أ)	الاحتمالان مختلفان عادة	الاحتمالانمختلفانعادة

الاحتمال الشرطي والأحداث المستقلة · 6 / 7

الجزء السابق الجزء التالي

ملخص الدرس

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
الاحتمال الشرطي	ل(أ \| ب) = ل(أ ∩ ب) ÷ ل(ب) حيث ل(ب) ≠ 0
قانون الضرب	ل(أ ∩ ب) = ل(ب) × ل(أ \| ب)
الحدثان المستقلان	ل(أ ∩ ب) = ل(أ) × ل(ب) أو ل(أ \| ب) = ل(أ)
الحدثان المتنافيان	ل(أ ∩ ب) = 0 ولا يكونان مستقلين إلا إذا كان أحدهما احتماله صفر	يكونانمستقلينأحدهمااحتماله
•	في السحب دون إرجاع يتغير فضاء العينة بعد كل سحب	السحبإرجاعيتغيرفضاء

الاحتمال الشرطي والأحداث المستقلة · 7 / 7

الجزء السابق

أحسنت! أنهيت هذا الدرس

ماذا تريد أن تفعل الآن؟

حل الكويزاختبر ما تعلمته الآن الدرس التاليالمتغير العشوائي المتقطع ذاكر مادة أخرىالصف الثالث الثانوي