الدرس 2 - المجموعات والعمليات الجبرية ومجموعات الأعداد

• المجموعة (Set): تجمع من الأشياء أو العناصر المعرفة تعريفاً تاماً ومحدداً بدقة لا تحتمل اللبس، ولا يراعى في المجموعة ترتيب العناصر ولا تكرارها داخل قوسي المجموعة { }.
• المجموعة الخالية (Empty / Null Set - ∅): المجموعة التي لا تحتوي على أي عنصر على الإطلاق، وعدد عناصرها يساوي صفراً، وتعتبر مجموعة جزئية من أي مجموعة رياضية أخرى (∅ ⊆ A دائماً).
• المجموعة الشاملة (Universal Set - U): المجموعة الأم التي تحتوي على جميع العناصر قيد الدراسة والبحث، وتُمثل عادة بمستطيل كبير يضم داخله جميع المجموعات الجزئية.
• تقاطع المجموعتين (Intersection - A ∩ B): مجموعة العناصر المشتركة التي تنتمي إلى المجموعة A وتنتمي في نفس الوقت إلى المجموعة B: {x : x ∈ A and x ∈ B}.
• اتحاد المجموعتين (Union - A ∪ B): مجموعة جميع العناصر التي تنتمي إلى المجموعة A أو تنتمي إلى المجموعة B أو تنتمي إليهما معاً (دون تكرار): {x : x ∈ A or x ∈ B}.
• مكملة المجموعة (Complement - A'): مجموعة العناصر التي تنتمي إلى المجموعة الشاملة U ولا تنتمي إلى المجموعة A: A' = U - A.

• قانون عدد عناصر الاتحاد: [ الصيغة الكيميائية والرياضية: n(A ∪ \[\begin{gathered}B) = n(A) + n(B) - n(A\end{gathered}\] ∩ B) ] حيث n تعبر عن عدد العناصر، ونطرح التقاطع لتجنب عد العناصر المشتركة مرتين.
• قوانين دي مورجان (De Morgan's Laws): [ الصيغة الكيميائية والرياضية: (A ∪ B)' = A' ∩ B' | (A ∩ B)' = A' ∪ B' ] مكملة الاتحاد تساوي تقاطع المكملتين، ومكملة التقاطع تساوي اتحاد المكملتين.
• قوانين الفرق والعمليات الخاصة: [ الصيغة الكيميائية والرياضية: A - B = A ∩ B' | A ∩ A' = ∅ | A ∪ \[\begin{gathered}A' = U | (A')' = A ]\end{gathered}\] العناصر الموجودة في A وليست في B.

نظرية المجموعات هي اللغة الرياضية الموحدة التي تبنى عليها الرياضيات الحديثة والمنطق وعلوم الحاسوب. يعبر عن المجموعة بطريقتين رئيسيتين:

1. طريقة السرد (Listing Method): نكتب جميع عناصر المجموعة داخل قوسين { } ونفصل بين كل عنصرين بفاصلة دون تكرار أي عنصر ولا يشترط الترتيب، مثل: مجموعة أرقام العدد 5352 هي {2, 3, 5}.

2. طريقة الصفة المميزة (Set-Builder Notation): تحديد الخاصية الفريدة التي تجمع عناصر المجموعة، مثل: A = {x : x ∈ N, 2 ≤ x < 7} وهي تساوي بالسرد {2, 3, 4, 5, 6}.

العلاقات الأساسية بين العناصر والمجموعات:

• الانتماء (∈ و ∉): يربط بين (عنصر مفرد) و (مجموعة)، مثل: 5 ∈ {1, 3, 5} بينما 4 ∉ {1, 3, 5}.

• الاحتواء والجزئية (⊆ و ⊄): يربط بين (مجموعة) و (مجموعة أخرى)، وتكون A ⊆ B إذا كان كل عنصر في A ينتمي حتماً إلى B.

• المجموعة الخالية (∅): مجموعة جزئية من أي مجموعة في الكون (∅ ⊆ A)، بينما عدد المجموعات الجزئية لمجموعة تحتوي على n من العناصر يساوي \((2^{n})\).

العمليات الرياضية على المجموعات تمثل المنطق الرياضي لعمليات البحث وقواعد البيانات ومحركات البحث:

1. التقاطع (A ∩ B): المنطقة المشتركة بين الدائرتين في شكل فن. إذا كان A ∩ B = ∅ يقال للمجموعتين أنهما منفصلتان (Disjoint Sets).

2. الاتحاد (A ∪ B): تظليل كامل الدائرتين بما فيهما من عناصر مشتركة وغير مشتركة.

3. الفرق (A - B): العناصر التي تنتمي لـ A فقط ولا تنتمي لـ B (الجزء الهلالي من الدائرة A الخالي من التداخل مع B).

4. المكملة (A'): المنطقة الواقعة خارج الدائرة A وداخل المستطيل الشامل U.

قوانين دي مورجان: وضعهما عالم المنطق البريطاني أوجستس دي مورجان، وتعدان من أهم القواعد الرياضية في الجبر البولي وتصميم الدوائر المنطقية للحواسيب: مكملة الاتحاد تقلب إلى تقاطع المكملات، ومكملة التقاطع تقلب إلى اتحاد المكملات.

تستخدم أشكال فن لحل المسائل الإحصائية المعقدة واستطلاعات الرأي للأسواق والطلاب.

خطوات حل مسألة فن ثلاثية أو ثنائية:

(1) نرسم المستطيل الشامل U والدوائر المتقاطعة.

(2) نبدأ دائماً بملء منطقة التقاطع المركزي المشترك لجميع المجموعات (التقاطع الثلاثي A ∩ B ∩ C).

(3) نملأ تقاطعات كل مجموعتين بعد طرح التقاطع المركزي المشترك منهما.

(4) نملأ الأجزاء المنفردة لكل مجموعة بطرح كل ما بداخل دائرتها من إجمالي عناصرها.

(5) نطرح مجموع جميع العناصر داخل الدوائر من الإجمالي الكلي للكون U لمعرفة العناصر الخارجية التي لا تنتمي لأي من المجموعات.

جدول: جدول العمليات الرياضية على المجموعات ودلالاتها المنطقية وأشكال فن

• مسألة إحصائية حياتية وحلها بأشكال فن وقانون الاتحادالمعطيات والتفاعل والمطلوب: في فصل دراسي مكون من 40 طالباً، وجد أن 25 طالباً يحبون مادة الرياضيات، و 20 طالباً يحبون مادة العلوم، و 12 طالباً يحبون المادتين معاً. احسب: (1) عدد الطلاب الذين يحبون الرياضيات فقط، (2) عدد الطلاب الذين يحبون مادة واحدة على الأقل، (3) عدد الطلاب الذين لا يحبون أي من المادتين. خطوات الحل والبرهان الكيميائي: [1] نفرض أن مجموعة محبي الرياضيات هي M، ومجموعة محبي العلوم هي S، والمجموعة الشاملة للفصل هي U. [2] المعطيات: n(U) = 40، n(M) = 25، n(S) = 20، والتقاطع المشترك n(M ∩ \[\begin{gathered}S) = 12. [3]\end{gathered}\] أولاً: عدد الطلاب الذين يحبون الرياضيات فقط: \[\begin{gathered}n(M - S) = n(M) - n(M\end{gathered}\] ∩ \[\begin{gathered}S) = 25 - 12 = 13\end{gathered}\] طالباً. [4] ثانياً: عدد الطلاب الذين يحبون مادة واحدة على الأقل (أي الاتحاد M ∪ S): [5] نطبق قانون الاتحاد: n(M ∪ \[\begin{gathered}S) = n(M) + n(S) - n(M\end{gathered}\] ∩ \[\begin{gathered}S) = 25 + 20 - 12 = 45 - 12 = 33\end{gathered}\] طالباً. [6] ثالثاً: عدد الطلاب الذين يحبون العلوم فقط: \[\begin{gathered}n(S - M) = 20 - 12 = 8\end{gathered}\] طلاب. [7] رابعاً: عدد الطلاب الذين لا يحبون أي من المادتين (مكملة الاتحاد (M ∪ S)'): [8] n((M ∪ \[\begin{gathered}S)') = n(U) - n(M\end{gathered}\] ∪ \[\begin{gathered}S) = 40 - 33 = 7\end{gathered}\] طلاب. [9] التحقق من صحة الحل: 13 (رياضيات فقط) + 8 (علوم فقط) + 12 (كلاهما) + 7 (لا أحد) = 40 طالباً (مطابق لإجمالي الفصل تماماً).💡 فنية وتريك للحل السريع وتجنب الخطأ: تذكر دائماً: 'مادة واحدة على الأقل' تعني الاتحاد (∪)، و 'مادتين معاً' تعني التقاطع (∩)!
• تطبيق قوانين دي مورجان على مجموعات عدديةالمعطيات والتفاعل والمطلوب: إذا كانت المجموعة الشاملة \[\begin{gathered}U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}\end{gathered}\]، والمجموعة \[\begin{gathered}A = {2, 3, 5, 7}\end{gathered}\]، والمجموعة \[\begin{gathered}B = {1, 3, 5, 7}\end{gathered}\]. أوجد: (A ∪ B)' و (A ∩ B) وتحقق من صحة قانون دي مورجان الأول: (A ∪ B)' = A' ∩ B'.خطوات الحل والبرهان الكيميائي: [1] أولاً: نوجد الاتحاد A ∪ B: A ∪ \[\begin{gathered}B = {1, 2, 3, 5, 7}. [2]\end{gathered}\] مكملة الاتحاد (A ∪ B)': العناصر الموجودة في U وليست في الاتحاد: (A ∪ \[\begin{gathered}B)' = {4, 6, 8}. [3]\end{gathered}\] ثانياً: نوجد مكملة A منفردة: \[\begin{gathered}A' = U - A = {1, 4, 6, 8}. [4]\end{gathered}\] ونوجد مكملة B منفردة: \[\begin{gathered}B' = U - B = {2, 4, 6, 8}. [5]\end{gathered}\] ثالثاً: نوجد تقاطع المكملتين A' ∩ B': العناصر المشتركة بين A' و B' هي: A' ∩ \[\begin{gathered}B' = {4, 6, 8}. [6]\end{gathered}\] الاستنتاج والتحقق: نلاحظ أن (A ∪ \[\begin{gathered}B)' = {4, 6, 8}\end{gathered}\]، و A' ∩ \[\begin{gathered}B' = {4, 6, 8}\end{gathered}\]، وهما متطابقان تماماً، مما يثبت صحة قانون دي مورجان.💡 فنية وتريك للحل السريع وتجنب الخطأ: قانون دي مورجان قاعدة أساسية في امتحانات الرياضيات والمنطق وعلوم الحاسوب!

• المجموعة الخالية ∅ جزء من أي مجموعة (∅ ⊆ A) وعدد عناصرها صفر.
• الرمز (∈) يربط بين عنصر ومجموعة، والرمز (⊆) يربط بين مجموعة ومجموعة.
• قانون عدد عناصر الاتحاد: n(A ∪ \[\begin{gathered}B) = n(A) + n(B) - n(A\end{gathered}\] ∩ B).
• مكملة المجموعة الشاملة هي المجموعة الخالية (U' = ∅)، ومكملة المجموعة الخالية هي الشاملة (∅' = U).
• قوانين دي مورجان: مكملة الاتحاد تساوي تقاطع المكملات، ومكملة التقاطع تساوي اتحاد المكملات.