11 1-2-1 المعادلة الأسية وتوحيد الأساس
المعادلة الأسية معادلة يكون المجهول فيها في الأس؛ وإذا تساوت قوتان متحدتا الأساس تساوى أسيهما.
aˣ = aʸ ⟹ x = y (a > 0 ، a ≠ 1)
خطوات الحل:
- نكتب الطرفين بأساس واحد (بتحليل العدد إلى عوامله الأولية).
- نساوي الأسين.
- نحل المعادلة الناتجة.
- نتحقق بالتعويض.
قوى شائعة نحفظها:
2 : 2 ، 4 ، 8 ، 16 ، 32 ، 64 ، 128 ، 256
3 : 3 ، 9 ، 27 ، 81 ، 243
5 : 5 ، 25 ، 125 ، 625
علّل: نشترط a ≠ 1 لأن 1ˣ = 1ʸ = 1 لأي قيمتين x و y، فلا تتساوى الأسس بالضرورة.
✍️ أمثلة محلولة
مثال 1: حل 2ˣ = 32.
الحل:
32 = 2⁵
2ˣ = 2⁵
x = 5
التحقق: 2⁵ = 32 ✓
✍️ أمثلة محلولة
مثال 2: حل 3ˣ⁺¹ = 81.
الحل:
81 = 3⁴
x + 1 = 4
x = 3
التحقق: 3⁴ = 81 ✓
✍️ أمثلة محلولة
مثال 3: حل 4ˣ = 8.
الحل:
4 = 2² و 8 = 2³
(2²)ˣ = 2³
2²ˣ = 2³
2x = 3
\(x = \dfrac{3}{2}\)
✍️ أمثلة محلولة
مثال 4: حل 7ˣ⁻² = 49.
الحل:
49 = 7²
x − 2 = 2
x = 4
تذكر: الأخطاء الشائعة:
- مساواة الأساسين قبل توحيدهما.
- نسيان ضرب الأس: (2²)ˣ = 2²ˣ.
- نسيان التحقق بالتعويض.