17 2-4-1 الوتران المتقاطعان داخل الدائرة
إذا تقاطع وتران AB و CD في نقطة E داخل الدائرة فإن \[\begin{gathered}\,\text{AE} \times \,\text{EB} = \,\text{CE} \times \,\text{ED}\end{gathered}\].
\[\begin{gathered}\,\text{AE} \times \,\text{EB} = \,\text{CE} \times \,\text{ED}\end{gathered}\]
- البرهان: △AEC ~ △DEB لأن الزاويتين AEC و DEB متقابلتان بالرأس، وقياس A = قياس D (محيطيتان على القوس CB).
- من التشابه \[\begin{gathered}\,\text{AE} \div \,\text{DE} = \,\text{CE} \div \,\text{BE}\end{gathered}\] فنحصل على القاعدة.
- القطر العمودي على وتر ينصف هذا الوتر.
علّل: لماذا تكون النتيجة مستقلة عن موضع الوترين؟ لأن التشابه يعتمد على زوايا محيطية تقابل القوس نفسه، وتبقى متساوية مهما تحرك الوتران.
مثال 1: وتران AB و CD يتقاطعان في E داخل دائرة، و AE = 4 و EB = 6 و CE = 3. أوجد ED.
الحل:
\[\begin{gathered}\,\text{AE} \times \,\text{EB} = \,\text{CE} \times \,\text{ED}\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}4 \times 6 = 3 \times \,\text{ED}\end{gathered}\]
ED = 8
مثال 2: وتران AB و CD يتقاطعان في E حيث AE = 2x و EB = 6 و CE = 4 و ED = 12. أوجد x و AB.
الحل:
\[\begin{gathered}2x \times 6 = 4 \times 12\end{gathered}\]
12x = 48
x = 4
AE = 8
\[\begin{gathered}\,\text{AB} = 8 + 6 = 14\end{gathered}\]
مثال 3: CD قطر طوله 10 سم، AB وتر عمودي عليه في E حيث CE = 2 و ED = 8. أوجد طول AB.
الحل:
القطر العمودي على الوتر ينصفه: AE = EB.
\[\begin{gathered}\,\text{AE} \times \,\text{EB} = \,\text{CE} \times \,\text{ED}\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}\,\text{AE}^{2} = 2 \times 8 = 16\end{gathered}\]
AE = 4
AB = 8 سم
تذكر: الأخطاء الشائعة: ضرب قطعتين من وترين مختلفين في الجهة الواحدة؛ نسيان أن القطع الأربع هي أجزاء الوترين.