18 2-4-2 القاطعان المرسومان من نقطة خارج الدائرة
إذا رُسم من نقطة M خارج الدائرة قاطعان يقطعانها في A و B وفي C و D فإن \[\begin{gathered}\,\text{MA} \times \,\text{MB} = \,\text{MC} \times \,\text{MD}\end{gathered}\].
\[\begin{gathered}\,\text{MA} \times \,\text{MB} = \,\text{MC} \times \,\text{MD}\end{gathered}\]
- A و C النقطتان الأقرب إلى M، و B و D النقطتان الأبعد.
- \[\begin{gathered}\,\text{MB} = \,\text{MA} + \,\text{AB}\end{gathered}\] و \[\begin{gathered}\,\text{MD} = \,\text{MC} + \,\text{CD}\end{gathered}\].
- البرهان: △MAD ~ △MCB لأن الزاوية M مشتركة، وقياس MAD = قياس MCB (زاويتان محيطيتان ترتكزان على القوس نفسه) فتتناسب الأضلاع: \[\begin{gathered}\,\text{MA} \div \,\text{MC} = \,\text{MD} \div \,\text{MB}\end{gathered}\].
لاحظ: في القاعدة نضرب القطعة الخارجية في القاطع كاملًا (من M إلى النقطة الأبعد).
مثال 1: من نقطة M خارج دائرة رُسم قاطعان، MA = 4 و MB = 9 و MC = 3. أوجد MD.
الحل:
\[\begin{gathered}\,\text{MA} \times \,\text{MB} = \,\text{MC} \times \,\text{MD}\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}4 \times 9 = 3 \times \,\text{MD}\end{gathered}\]
MD = 12
مثال 2: من M رُسم قاطعان، MA = 3 و AB = 5 و MC = 4. أوجد MD و CD.
الحل:
\[\begin{gathered}\,\text{MB} = 3 + 5 = 8\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}\,\text{MA} \times \,\text{MB} = 24\end{gathered}\]
4 × MD = 24
MD = 6
\[\begin{gathered}\,\text{CD} = 6 - 4 = 2\end{gathered}\]
مثال 3: من M رُسم قاطعان، MC = 4 و MD = 6 و MA = x و AB = 5. أوجد x.
الحل:
\[\begin{gathered}x(x + 5) = 4 \times 6 = 24\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}x^{2} + 5x - 24 = 0\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}(x + 8)(x - 3) = 0\end{gathered}\]
x = 3 (نرفض x = −8 لأن الطول موجب)
تذكر: الأخطاء الشائعة: الضرب في AB بدل MB؛ ضرب القطعة الداخلية بالقطعة الخارجية؛ قبول جذر سالب لطول.