19 2-4-3 المماس والقاطع من نقطة خارج الدائرة
إذا رُسم من نقطة M خارج الدائرة مماس MT وقاطع يقطعها في A و B فإن \[\begin{gathered}(\,\text{MT})^{2} = \,\text{MA} \times \,\text{MB}\end{gathered}\].
\[\begin{gathered}(\,\text{MT})^{2} = \,\text{MA} \times \,\text{MB}\end{gathered}\]
- نتيجة لنظرية القاطعين حين ينطبق القاطع الثاني على المماس (C = D = T).
- المماسان المرسومان من نقطة خارج الدائرة متساويان في الطول.
- المماس عمودي على نصف القطر عند نقطة التماس، فنستعمل فيثاغورث أيضًا.
تذكر: إذا رُسم من M مماس MT فإن \[\begin{gathered}\,\text{MO}^{2} = \,\text{MT}^{2} + r^{2}\end{gathered}\] حيث O المركز و r نصف القطر.
مثال 1: من M خارج دائرة رُسم المماس MT والقاطع MAB حيث MA = 4 و AB = 5. أوجد MT.
الحل:
\[\begin{gathered}\,\text{MB} = 4 + 5 = 9\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}\,\text{MT}^{2} = 4 \times 9 = 36\end{gathered}\]
MT = 6
مثال 2: من M خارج دائرة رُسم المماس MT والقاطع MAB حيث MT = 8 و MA = 4. أوجد MB و AB.
الحل:
\[\begin{gathered}\,\text{MT}^{2} = \,\text{MA} \times \,\text{MB}\end{gathered}\]
64 = 4 × MB
MB = 16
\[\begin{gathered}\,\text{AB} = 16 - 4 = 12\end{gathered}\]
مثال 3: النقطة M تبعد 13 سم عن مركز دائرة O، والمماس MT طوله 12 سم. أوجد نصف قطر الدائرة، ثم تحقق باستخدام القاعدة.
الحل:
OT ⊥ MT.
\[\begin{gathered}r^{2} = 13^{2} - 12^{2} = 169 - 144 = 25\end{gathered}\]
r = 5 سم
القاطع المار بالمركز: \[\begin{gathered}\,\text{MA} = 13 - 5 = 8\end{gathered}\] و \[\begin{gathered}\,\text{MB} = 13 + 5 = 18\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}\,\text{MA} \times \,\text{MB} = 8 \times 18 = 144 = 12^{2} = \,\text{MT}^{2}\end{gathered}\]
تذكر:
- الأخطاء الشائعة: اعتبار \[\begin{gathered}\,\text{MT} \times \,\text{MT} = \,\text{MA} \times \,\text{AB}\end{gathered}\] (الصحيح MA × MB)؛
- نسيان إضافة القطعتين لتكوين MB.