17 4-4-4 الزاويتان 90° − θ و 90° + θ
- \[\begin{gathered}\sin (90{}^{\circ} - \theta ) = \cos \theta \end{gathered}\] و \[\begin{gathered}\cos (90{}^{\circ} - \theta ) = \sin \theta \end{gathered}\] و \[\begin{gathered}\tan (90{}^{\circ} - \theta ) = \cot \theta \end{gathered}\].
- وكذلك \[\begin{gathered}\sin (90{}^{\circ} + \theta ) = \cos \theta \end{gathered}\] و \[\begin{gathered}\cos (90{}^{\circ} + \theta ) = -\sin \theta \end{gathered}\] و \[\begin{gathered}\tan (90{}^{\circ} + \theta ) = -\cot \theta \end{gathered}\].
\[\begin{gathered}\sin (90{}^{\circ} - \theta ) = \cos \theta \end{gathered}\]
\[\begin{gathered}\cos (90{}^{\circ} - \theta ) = \sin \theta \end{gathered}\]
\[\begin{gathered}\tan (90{}^{\circ} - \theta ) = \cot \theta \end{gathered}\]
\[\begin{gathered}\sin (90{}^{\circ} + \theta ) = \cos \theta \end{gathered}\]
\[\begin{gathered}\cos (90{}^{\circ} + \theta ) = -\sin \theta \end{gathered}\]
\[\begin{gathered}\tan (90{}^{\circ} + \theta ) = -\cot \theta \end{gathered}\]
- عند 90° و 270° (مضاعفات فردية لـ 90°) يتحول اسم الدالة إلى متممتها.
- نحدد الإشارة من الربع الذي تقع فيه الزاوية الكبيرة (بافتراض θ حادة).
لاحظ: الزاويتان θ و 90° − θ متتامتان، وهذا هو سر قولنا: جيب زاوية = جيب تمام متممتها.
مثال 1: أوجد sin 120° و cos 120°.
الحل:
\[\begin{gathered}120{}^{\circ} = 90{}^{\circ} + 30{}^{\circ}\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}\sin 120{}^{\circ} = \cos 30{}^{\circ} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}\cos 120{}^{\circ} = -\sin 30{}^{\circ} = -\dfrac{1}{2}\end{gathered}\]
مثال 2: أوجد قيمة sin 60° − cos 30°.
الحل:
\[\begin{gathered}\sin 60{}^{\circ} = \cos (90{}^{\circ} - 60{}^{\circ}) = \cos 30{}^{\circ}\end{gathered}\]
الفرق = \[\begin{gathered}\cos 30{}^{\circ} - \cos 30{}^{\circ} = 0\end{gathered}\]
مثال 3: أوجد tan 120°.
الحل:
\[\begin{gathered}\tan (90{}^{\circ} + 30{}^{\circ}) = -\cot 30{}^{\circ} = -\sqrt{3}\end{gathered}\]
أو \[\begin{gathered}120{}^{\circ} = 180{}^{\circ} - 60{}^{\circ}\end{gathered}\] ومنه \[\begin{gathered}\tan 120{}^{\circ} = -\tan 60{}^{\circ} = -\sqrt{3}\end{gathered}\] (نفس القيمة).
تذكر: الأخطاء الشائعة: عدم تغيير اسم الدالة عند 90° و 270°؛ الخطأ في الإشارة لأن θ ليست في الربع الأول.