19 4-4-6 تبسيط المقادير وإثبات العلاقات باستخدام الزوايا المنتسبة
نحوّل كل زاوية إلى دالة للزاوية θ بالقواعد السابقة، ثم نبسط.
- الخطوة 1: نحدد الربع.
- الخطوة 2: هل الأساس \(\dfrac{90{}^{\circ}}{270}{}^{\circ}\) (يتغير الاسم) أم \(\dfrac{180{}^{\circ}}{360}{}^{\circ}\) (لا يتغير)؟
- الخطوة 3: نضع الإشارة المناسبة.
- الخطوة 4: نبسط المقدار.
- في المثلث ABC: \[\begin{gathered}A + B + C = 180{}^{\circ}\end{gathered}\] فتنفعنا العلاقات مثل \[\begin{gathered}\sin (B + C) = \sin A\end{gathered}\].
تذكر: نتحقق من النتيجة بتعويض قيمة بسيطة مثل θ = 30° عند الشك.
مثال 1: بسّط sin(180° − θ) × cos(360° − θ) × tan(180° + θ).
الحل:
\[\begin{gathered}\sin (180{}^{\circ} - \theta ) = \sin \theta \end{gathered}\]
\[\begin{gathered}\cos (360{}^{\circ} - \theta ) = \cos \theta \end{gathered}\]
\[\begin{gathered}\tan (180{}^{\circ} + \theta ) = \tan \theta \end{gathered}\]
الناتج = sin θ × cos θ × tan θ
= sin θ × cos θ × (sin θ ÷ cos θ)
= sin² θ
مثال 2: بسّط sin(90° − θ) + cos(180° − θ).
الحل:
\[\begin{gathered}\sin (90{}^{\circ} - \theta ) = \cos \theta \end{gathered}\]
\[\begin{gathered}\cos (180{}^{\circ} - \theta ) = -\cos \theta \end{gathered}\]
المجموع = 0
مثال 3: بسّط sin(270° − θ) ÷ cos(180° + θ).
الحل:
\[\begin{gathered}\sin (270{}^{\circ} - \theta ) = -\cos \theta \end{gathered}\]
\[\begin{gathered}\cos (180{}^{\circ} + \theta ) = -\cos \theta \end{gathered}\]
الناتج = 1
مثال 4: احسب sin 120° cos 330° + cos 120° sin 330°.
الحل:
\[\begin{gathered}\sin 120{}^{\circ} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{gathered}\] و \[\begin{gathered}\cos 330{}^{\circ} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}\cos 120{}^{\circ} = -\dfrac{1}{2}\end{gathered}\] و \[\begin{gathered}\sin 330{}^{\circ} = -\dfrac{1}{2}\end{gathered}\]
= \(\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4}\)
= 1
مثال 5: في △ABC أثبت أن \[\begin{gathered}\cos (B + C) = -\cos A\end{gathered}\].
الحل:
\[\begin{gathered}B + C = 180{}^{\circ} - A\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}\cos (B + C) = \cos (180{}^{\circ} - A)\end{gathered}\]
= −cos A
تذكر: الأخطاء الشائعة: تبسيط الإشارات بترتيب خاطئ؛ استخدام قاعدة 90° مكان 180°.