الدرس الرابع: التكامل غير المحدد وتكامل الدوال المثلثية والأسية واللوغاريتمية

فهم التكامل غير المحدد على أنه عملية عكسية للاشتقاق، وخواصه وجدول التكاملات الأساسية.
إيجاد تكامل الدوال الأسية واللوغاريتمية والمثلثية وتطبيقاتها الهندسية والفيزيائية.
التكامل بالتعويض والتكامل بالتجزئ وإيجاد معادلة منحنى من ميل مماسه.

🌳 شجرة المفاهيم

الدرس الرابع: التكامل غير المحدد وتكامل الدوال المثلثية والأسية واللوغاريتمية
├── 3-1 المشتقة العكسية والتكامل غير المحدد
│   ├── المشتقة العكسية
│   ├── خواص التكامل غير المحدد
│   └── التكاملات الأساسية (القياسية)
├── 3-1 تكامل الدوال الأسية
│   └── قاعدتا التكامل
├── 3-1 تكامل الدوال اللوغاريتمية (الدالة 1x)
│   ├── القاعدة
│   └── مضاعفات الدالة
├── 3-1 تطبيقات التكامل غير المحدد
│   ├── تطبيقات هندسية
│   └── تطبيقات فيزيائية
├── 3-2 طرق التكامل: التفاضلات
│   └── تفاضلي دالة
├── 3-2 التكامل بالتعويض
│   ├── الفكرة
│   ├── خطوات التكامل بالتعويض
│   └── قاعدتان مفيدتان
└── 3-2 التكامل بالتجزئ
    ├── القاعدة
    ├── اختيار u و dv
    └── ملخص اختيار الطريقة

01 3-1 المشتقة العكسية والتكامل غير المحدد

المشتقة العكسية

المشتقة العكسية عملية عكسية للاشتقاق: يقال إن $F (x)$ مشتقة عكسية للدالة $f (x)$ على فترة إذا كان $F^{'} (x) = f (x)$ لكل $x$ في الفترة.
عند إضافة أي ثابت إلى المشتقة العكسية نحصل على مشتقة عكسية أخرى، فلكل دالة عدد لا نهائي من المشتقات العكسية.
تسمى مجموعة المشتقات العكسية التكامل غير المحدد ويُرمز له $\int f (x) d x$ ، وتمثله مجموعة منحنيات متوازية تختلف عن بعضها في الثابت، وميل المماس لأي منها متساوٍ عند $x$ واحدة.

$\int f (x) d x = F (x) + C$

الثابت $C$ يسمى ثابت التكامل (الثابت الاختياري)، ويمكن تحديده إذا عُلمت نقطة على المنحنى.

خواص التكامل غير المحدد

تكامل المجموع أو الفرق: $\int [f (x) \pm g (x)] d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x$
إخراج الثابت: $\int k f (x) d x = k \int f (x) d x$ حيث $k$ عدد حقيقي ثابت.
قاعدة القوة: $\int x^{n} d x = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C$ حيث $n \neq - 1$ .

✍️ أمثلة محلولة

مثال 1: أوجد $\int (3 x^{2} + 4 x + 5) d x$ . الحل:

$\int 3 x^{2} d x = x^{3}$ و $\int 4 x d x = 2 x^{2}$ و $\int 5 d x = 5 x$
الناتج $= x^{3} + 2 x^{2} + 5 x + C$

التكاملات الأساسية (القياسية)

لا توجد طريقة عامة لتكامل أي دالة، فالتكامل عكس الاشتقاق ويعتمد على معرفة مشتقات الدوال الأساسية، وفي الجدول التالي نلخصها:

1قوة

مشتقتها

$\frac{d}{d x} x^{n} = n x^{n - 1}$

التكامل المناظر

$\int x^{n} d x = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C, n \neq - 1$

2جيب

مشتقتها

$\frac{d}{d x} \sin x = \cos x$

التكامل المناظر

$\int \cos x d x = \sin x + C$

3جيب تمام

مشتقتها

$\frac{d}{d x} \cos x = - \sin x$

التكامل المناظر

$\int \sin x d x = - \cos x + C$

4ظل

مشتقتها

$\frac{d}{d x} \tan x = \sec^{2} x$

التكامل المناظر

$\int \sec^{2} x d x = \tan x + C$

5ظل تمام

مشتقتها

$\frac{d}{d x} \cot x = - \csc^{2} x$

التكامل المناظر

$\int \csc^{2} x d x = - \cot x + C$

6قاطع

مشتقتها

$\frac{d}{d x} \sec x = \sec x \tan x$

التكامل المناظر

$\int \sec x \tan x d x = \sec x + C$

7قاطع تمام

مشتقتها

$\frac{d}{d x} \csc x = - \csc x \cot x$

التكامل المناظر

$\int \csc x \cot x d x = - \csc x + C$

8أسية

مشتقتها

$\frac{d}{d x} e^{x} = e^{x}$

التكامل المناظر

$\int e^{x} d x = e^{x} + C$

9لوغاريتم

مشتقتها

$\frac{d}{d x} \ln x = \frac{1}{x}$

التكامل المناظر

$\int \frac{1}{x} d x = \ln ∣ x ∣ + C, x \neq 0$

02 3-1 تكامل الدوال الأسية

قاعدتا التكامل

مشتقة $e^{x}$ هي $e^{x}$ نفسها، فإن $e^{x}$ مشتقة عكسية لنفسها.
إذا كان $k$ عددًا حقيقيًّا غير الصفر فإن:

$\int e^{x} d x = e^{x} + C, \int e^{k x} d x = \frac{1}{k} e^{k x} + C$

إذا كانت $f (x)$ دالة قابلة للاشتقاق فإن:

$\int f^{'} (x) e^{f (x)} d x = e^{f (x)} + C$

✍️ أمثلة محلولة

مثال 2: أوجد: (أ) $\int e^{7 x} d x$ (ب) $\int e^{- \frac{3}{4} y} d y$ (ج) $\int 8 e^{4 z} d z$ . الحل:

(أ) $\int e^{7 x} d x = \frac{1}{7} e^{7 x} + C$
(ب) $\int e^{- \frac{3}{4} y} d y = \frac{1}{- \frac{3}{4}} e^{- \frac{3}{4} y} + C = - \frac{4}{3} e^{- \frac{3}{4} y} + C$
(ج) $\int 8 e^{4 z} d z = \frac{8}{4} e^{4 z} + C = 2 e^{4 z} + C$

03 3-1 تكامل الدوال اللوغاريتمية (الدالة $\frac{1}{x}$ )

القاعدة

نعلم أن $\frac{d}{d x} \ln x = \frac{1}{x}$ عندما $x > 0$ ، و $\frac{d}{d x} \ln (- x) = \frac{1}{x}$ عندما $x < 0$ .
وبوجه عام $\frac{d}{d x} \ln ∣ x ∣ = \frac{1}{x}$ حيث $x \neq 0$ .

$\int \frac{1}{x} d x = \ln ∣ x ∣ + C, x \neq 0$

وإذا كانت $f$ دالة قابلة للاشتقاق و $f (x) \neq 0$ فإن:

$\int \frac{f^{'} (x)}{f (x)} d x = \ln ∣ f (x) ∣ + C$

مضاعفات الدالة

✍️ أمثلة محلولة

مثال 6: أوجد: (أ) $\int \frac{2}{x} d x$ (ب) $\int \frac{7}{x \ln 3} d x$ . الحل:

(أ) $2 \int \frac{1}{x} d x = 2 \ln ∣ x ∣ + C$ حيث $x \neq 0$
(ب) $\frac{7}{\ln 3} \int \frac{1}{x} d x = \frac{7}{\ln 3} \ln ∣ x ∣ + C$

04 3-1 تطبيقات التكامل غير المحدد

تطبيقات هندسية

إذا علمنا ميل المماس $\frac{d y}{d x}$ لمنحنى $y = f (x)$ عند أي نقطة عليه فإن $f (x) = \int \frac{d y}{d x} d x$ .
ينتج التكامل منحنيات كثيرة تختلف في الثابت $C$ ، ويحدد المنحنى المطلوب بنقطة معلومة عليه.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 9: ميل المماس لمنحنى عند أي نقطة $(x, y)$ عليه يساوي $\frac{3 x + 2}{x}$ ، أوجد معادلة المنحنى إذا علم أنه يمر بالنقطة $(e, 3 e + 5)$ . الحل:

$\frac{d y}{d x} = 3 + \frac{2}{x}$ ومنها $y = 3 x + 2 \ln ∣ x ∣ + C$
بالتعويض بالنقطة $(e, 3 e + 5)$ : $3 e + 5 = 3 e + 2 \ln e + C = 3 e + 2 + C$
$C = 3$
معادلة المنحنى: $y = 3 x + 2 \ln ∣ x ∣ + 3$

تطبيقات فيزيائية

إذا علم معدل تغير كمية بالنسبة للزمن فإن الكمية نفسها هي تكامل المعدل، ويحدد ثابت التكامل من القيمة عند بداية التغير.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 10: يتغير مساحة سطح صفيحة بمعدل $\frac{d A}{d t} = e^{- 0.1 t}$ (بالسنتيمتر المربع لكل ثانية)، وكانت مساحة الصفيحة عند بداية التغير $80$ سم².
أوجد مساحتها بعد $10$ ثوانٍ.
الحل:

$A = \int e^{- 0.1 t} d t = - 10 e^{- 0.1 t} + C$
عند $t = 0$ : $80 = - 10 + C$ ومنها $C = 90$
$A (t) = 90 - 10 e^{- 0.1 t}$
بعد 10 ثوانٍ: $A = 90 - 10 e^{- 1} \approx 86.3$ سم²

05 3-2 طرق التكامل: التفاضلات

تفاضلي دالة

إذا كانت $y = f (x)$ دالة قابلة للاشتقاق فمن تعريف المشتقة: $\frac{Δ y}{Δ x} \approx f^{'} (x)$ عندما $Δ x \to 0$ ، أي أن $Δ y \approx f^{'} (x) Δ x$ .
تفاضلي $y$ ويرمز له $d y$ يساوي $f^{'} (x) Δ x$ ، و تفاضلي $x$ ويرمز له $d x$ يساوي $Δ x$ ، فيكون:

$d y = f^{'} (x) d x$

مثال: إذا كانت $y = x^{3}$ فإن $d y = 3 x^{2} d x$ .
إذا كان كل من $u$ و $v$ دالة في $x$ فإن $d (u v) = u d v + v d u$ .

✍️ أمثلة محلولة

مثال 11: أوجد تفاضلي كلٍّ من: (أ) $y = \frac{x}{x - 1}$ (ب) $V = \frac{4}{3} π r^{3}$ . الحل:

(أ) $y = 1 + \frac{1}{x - 1}$ ومنها $d y = - \frac{1}{(x - 1)^{2}} d x$
(ب) $d V = \frac{4}{3} π \times 3 r^{2} d r = 4 π r^{2} d r$

06 3-2 التكامل بالتعويض

الفكرة

من أهم طرق التكامل إيجاد تكامل حاصل ضرب دالتين على الصورة $\int f (g (x)) g^{'} (x) d x$ .
نضع $u = g (x)$ فيكون $d u = g^{'} (x) d x$ ويصبح التكامل:

$\int f (g (x)) g^{'} (x) d x = \int f (u) d u$

خطوات التكامل بالتعويض

نختار التعويض $u$ المناسب (عادة المقدار الداخلي في قوس مرفوع لقوة، أو داخل جذر، أو الأس، أو المقام).
نحسب $d u$ .
نعوض ونبسط الصورة.
نحسب التكامل بالمتغير $u$ .
نكتب الناتج بدلالة المتغير الأصلي $x$ .
إن لم يصبح التكامل أسهل نعيد المحاولة بتعويض آخر.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 12: أوجد: (أ) $\int x^{3} (2 x^{4} - 7)^{5} d x$ (ب) $\int \frac{x + 4}{(x^{2} + 8 x)^{3}} d x$ . الحل:

(أ) نضع $u = 2 x^{4} - 7$ فيكون $d u = 8 x^{3} d x$
$\frac{1}{8} \int u^{5} d u = \frac{1}{8} \times \frac{u^{6}}{6} + C = \frac{1}{48} (2 x^{4} - 7)^{6} + C$
(ب) نضع $u = x^{2} + 8 x$ فيكون $d u = (2 x + 8) d x = 2 (x + 4) d x$
$\frac{1}{2} \int u^{- 3} d u = \frac{1}{2} \times \frac{u^{- 2}}{- 2} + C = - \frac{1}{4 (x^{2} + 8 x)^{2}} + C$

قاعدتان مفيدتان

$\int [f (x)]^{n} f^{'} (x) d x = \frac{[f (x)]^{n + 1}}{n + 1} + C$ حيث $n \neq - 1$ .
$\int \frac{f^{'} (x)}{f (x)} d x = \ln ∣ f (x) ∣ + C$ حيث $f (x) \neq 0$ .

07 3-2 التكامل بالتجزئ

القاعدة

إذا كانت $u$ و $v$ دالتين قابلتين للاشتقاق في $x$ فإن $\frac{d}{d x} (u v) = u \frac{d v}{d x} + v \frac{d u}{d x}$ .
بتكامل الطرفين نحصل على قاعدة التكامل بالتجزئ:

$\int u d v = u v - \int v d u$

تُستخدم لإيجاد تكامل حاصل ضرب دالتين لا تكون إحداهما مشتقة للأخرى، باختيار مناسب لكل من $u$ و $d v$ بحيث يكون التكامل في الطرف الأيمن أسهل من التكامل الأصلي.

اختيار $u$ و $d v$

نختار $u$ بحيث يكون $d u$ أبسط من $u$ (كثيرات الحدود واللوغاريتم).
نختار $d v$ بحيث يسهل تكامله للحصول على $v$ .
إضافة ثابت إلى الدالة $v$ لا يغير من النتيجة.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 16: أوجد: (أ) $\int x e^{x} d x$ (ب) $\int x^{2} e^{x} d x$ . الحل:

(أ) نفرض $u = x$ و $d v = e^{x} d x$ فيكون $d u = d x$ و $v = e^{x}$
$\int x e^{x} d x = x e^{x} - \int e^{x} d x = x e^{x} - e^{x} + C = e^{x} (x - 1) + C$
(ب) نفرض $u = x^{2}$ و $d v = e^{x} d x$ فيكون $d u = 2 x d x$ و $v = e^{x}$
$\int x^{2} e^{x} d x = x^{2} e^{x} - 2 \int x e^{x} d x$
وبالتعويض من (أ): $= x^{2} e^{x} - 2 e^{x} (x - 1) + C = e^{x} (x^{2} - 2 x + 2) + C$

ملخص اختيار الطريقة

إذا وُجد في التكامل مقدار ومشتقته (أو ما يتناسب مع مشتقته) فنستخدم التعويض.
إذا كان التكامل حاصل ضرب دالتين مختلفتي النوع (كثيرة حدود مع أسية أو لوغاريتمية) فنستخدم التجزئ.
يمكن استخدام التعويض أولًا ثم التجزئ في المسألة الواحدة، ويُتحقق من النتيجة دائمًا بالاشتقاق.

تحدَّ نفسك: تقييمات وزارية تفاعلية على هذا الدرس

أسئلة تفاعلية حصرية على نمط الاختبار الوزاري 2026/2027 مبنية على محتوى هذا الدرس فقط، مع التفسير العلمي وسبب صحة أو خطأ كل خيار.

سؤال وزاري تطبيقي

قيمة التكامل ∫ x · e^x dx تساوي:

سؤال وزاري تطبيقي

قيمة التكامل ∫ (2x + 3) / (x² + 3x + 5) dx تساوي:

سؤال وزاري تطبيقي

إذا كان a/b = c/d = 3/5، فإن قيمة المقدار (2a + 3c) / (2b + 3d) تساوي:

سؤال وزاري تطبيقي

العدد الذي إذا أُضيف إلى كل من الأعداد 3 ، 5 ، 8 ، 12 تصبح في تناسب متتالٍ هو:

سؤال وزاري تطبيقي

إذا كانت الكميات a, b, c, d في تناسب متسلسل، فإن a/d تساوي بدلالة ثابت التناسب m:

هل أنت جاهز لخوض الاختبار الوزاري الكامل وبنك الـ 300 سؤال؟

اختبر استيعابك الشامل مع المؤقت الزمني وحساب الدرجات والمراجعة التفصيلية لكل سؤال.

🚀 ابدأ بنك الأسئلة الشامل (300+ سؤال) الآن

🧭 نقاط الدرس — اختر نقطة وذاكرها مع بنك أسئلتها

🌳 شجرة المفاهيم

01 3-1 المشتقة العكسية والتكامل غير المحدد

المشتقة العكسية

خواص التكامل غير المحدد

التكاملات الأساسية (القياسية)

02 3-1 تكامل الدوال الأسية

قاعدتا التكامل

03 3-1 تكامل الدوال اللوغاريتمية (الدالة $\frac{1}{x}$ )

القاعدة

مضاعفات الدالة

04 3-1 تطبيقات التكامل غير المحدد

تطبيقات هندسية

تطبيقات فيزيائية

05 3-2 طرق التكامل: التفاضلات

تفاضلي دالة

06 3-2 التكامل بالتعويض

الفكرة

خطوات التكامل بالتعويض

قاعدتان مفيدتان

07 3-2 التكامل بالتجزئ

القاعدة

اختيار $u$ و $d v$

ملخص اختيار الطريقة

تحدَّ نفسك: تقييمات وزارية تفاعلية على هذا الدرس

هل أنت جاهز لخوض الاختبار الوزاري الكامل وبنك الـ 300 سؤال؟

أسئلة مستوى صعب على الدرس (نظام الامتحان)

الدرس الرابع: التكامل غير المحدد وتكامل الدوال المثلثية والأسية واللوغاريتمية

🧭 نقاط الدرس — اختر نقطة وذاكرها مع بنك أسئلتها

🌳 شجرة المفاهيم

01 3-1 المشتقة العكسية والتكامل غير المحدد

المشتقة العكسية

خواص التكامل غير المحدد

التكاملات الأساسية (القياسية)

02 3-1 تكامل الدوال الأسية

قاعدتا التكامل

03 3-1 تكامل الدوال اللوغاريتمية (الدالة 1x)

القاعدة

مضاعفات الدالة

04 3-1 تطبيقات التكامل غير المحدد

تطبيقات هندسية

تطبيقات فيزيائية

05 3-2 طرق التكامل: التفاضلات

تفاضلي دالة

06 3-2 التكامل بالتعويض

الفكرة

خطوات التكامل بالتعويض

قاعدتان مفيدتان

07 3-2 التكامل بالتجزئ

القاعدة

اختيار u و dv

ملخص اختيار الطريقة

تحدَّ نفسك: تقييمات وزارية تفاعلية على هذا الدرس

هل أنت جاهز لخوض الاختبار الوزاري الكامل وبنك الـ 300 سؤال؟

أسئلة مستوى صعب على الدرس (نظام الامتحان)

03 3-1 تكامل الدوال اللوغاريتمية (الدالة $\frac{1}{x}$ )

اختيار $u$ و $d v$