الدرس 2 – النسبة والتناسب وخواص التناسب والتغير الطردي والتغير العكسي

الرياضيات — الصف الثالث الإعدادي

الدرس 2 – النسبة والتناسب وخواص التناسب والتغير الطردي والتغير العكسي

★ كتاب الشرح والتفصيل العلمي الشامل المعتمد ★

كتاب الشرح المفصل←النسبة والتناسب وخواص التناسب المتسلسل والتغير الطردي والتغير العكسي

| | 2026/2027 |

🎯 أهداف التعلم والمخرجات التعليمية المقررة بالتفصيل:
• استيعاب خواص التناسب الخمس وتطبيقات التناسب المتسلسل (b² = ac).
• التمييز الرياضي والبياني بين التغير الطردي (y ∝ x) والتغير العكسي (y ∝ 1/x).
• استنتاج ثابت التغير m وكتابة العلاقة الرياضية بين المتغيرين في كلا النوعين.
• حل المسائل الحياتية والتطبيقية المعقدة على التغير الطردي والعكسي.
📖 المفاهيم والمصطلحات العلمية واللغوية الأساسية (Core Terminology):
🔹 النسبة (Ratio) مقارنة بين كميتين أو عددين من نفس النوع ولهما نفس وحدات القياس، وتكتب على الصورة a: b أو a/b.

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
🔹 التناسب (Proportion)	تساوي نسبتين أو أكثر: a / b = c / d وتسمى الأعداد a d كميات متناسبة (حيث a الأول المتناسب b الثاني c الثالث d الرابع و a d طرفا التناسب و b c وسطا التناسب)	تساوينسبتينأكثروتسمى
🔹 التناسب المتسلسل (Continued Proportion)	يقال إن a c في تناسب متسلسل إذا كان a / b = b / c ويسمى b “الوسط المتناسب” وقيمته b = ± √ac	يقالويسمىالوسطالمتناسب
🔹 التغير الطردي (Direct Variation)	علاقة بين متغيرين x و y بحيث كلما زادت x زادت y بنفس النسبة وتكتب y ∝ x وقاعدتها الرياضية y = mx (حيث m ثابت حقيقي لا يساوي صفراً)	علاقةمتغيرينبحيثكلما
🔹 التغير العكسي (Inverse Variation)	علاقة بين متغيرين بحيث كلما زادت x نقصت y بنفس النسبة وتكتب y ∝ 1 / x وقاعدتها الرياضية y = m / x أي أن حاصل ضربهما ثابت: x y = m	علاقةمتغيرينبحيثكلما

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
•	⚖️ القوانين والنظريات والعلاقات الحاكمة (Governing Laws & Principles)	القوانينوالنظرياتوالعلاقاتالحاكمة
★ قانون حاصل ضرب الطرفين والوسطين	[ الصيغة: إذا كان a / b = c / d ⇒ a · d = b · c (حاصل ضرب الطرفين = حاصل ضرب الوسطين). ]	الصيغة
★ قوانين التغير الطردي	[ الصيغة: 1) العلاقة: y = mx m = y / x (ثابت التغير).2) التناسب التبادلي: y1 / y2 = x1 / x2.3) التمثيل البياني: خط مستقيم يمر حتماً بنقطة الأصل (0 0). ]	الصيغةالعلاقةثابتالتناسب
★ قوانين التغير العكسي	[ الصيغة: 1) العلاقة: y = m / x أي x · y = m.2) التناسب التبادلي: y1 / y2 = x2 / x1 (نسبة عكسية).3) التمثيل البياني: منحنى ذو فرعين في الربعين الأول والثالث (أو الثاني والرابع) ولا يمر إطلاقاً بنقطة الأصل. ]	الصيغةالعلاقةالتناسبالتبادلي
•	📌 الشرح التفصيلي المستفيض لكافة محاور الدرس	الشرحالتفصيليالمستفيضلكافة

◄ أولاً خواص التناسب والتناسب المتسلسل والتعويض بـ m
يمتلك التناسب خواص جبرية جوهرية تُبنى عليها حلول براهين المعادلات:- خاصية مجموع المقدمات والتوالي: “مجموع المقدمات على مجموع التوالي يساوي إحدى النسب”:a / b = c / d = e / f = (l1 a + l2 c + l3 e) / (l1 b + l2 d + l3 f) = إحدى النسب.- فرضية الثابت m: إذا كان a / b = c / d = m ⇒ a = bm, c = dm.أما في التناسب المتسلسل a / b = b / c = m، فإن التعويض يبدأ من النهاية لتوحيد المتغيرات: b = cm و a = cm2.
وإذا امتد لثلاث نسب a / b = b / c = c / d = m ⇒ c = dm, b = dm2, a = dm3.
شكل توضيحي (prep3_direct_and_inverse_variation_graphs.png): شكل (2): التمثيل البياني للتغير الطردي (مستقيم يمر بالأصل) والتغير العكسي (منحنى)

التحليل المقارن للتغير الطردي والتغير العكسي
التغير الطردي (y ∝ x): يعبر عن الظواهر التي ينمو فيها المتغيران معاً بنفس المعدل؛ كالمسافة والزمن عند ثبوت السرعة (d = vt).
وشرطه البياني الحاسم هو أن يمثله خط مستقيم يمر بنقطة الأصل (0, 0).
فإذا مثل بمستقيم لا يمر بنقطة الأصل (مثل y = 2x + 3) فهو علاقة خطية وليس تغيراً طردياً لأن النسبة y/x ليست ثابتة.2.
التغير العكسي (y ∝ 1/x): يعبر عن الظواهر التي تؤدي فيها زيادة أحدهما لنقصان الآخر؛ كالزمن والسرعة لقطع مسافة ثابتة (t = d/v).
والشرط الجبري الحاسم للتغير العكسي هو ثبات حاصل ضرب المتغيرين: x y = m.
كيفية تحديد نوع التغير من الجداول والعلاقات المعطاة

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
للتمييز بين نوعي التغير في أسئلة الامتحانات	- نقوم بحساب النسبة y / x لجميع أعمدة الجدول: إذا كانت القيمة ثابتة دائماً (مثلاً تساوي 5 دائماً) فالتغير طردي وثابت التغير m = 5 والعلاقة y = 5x.- نقوم بحساب حاصل الضرب x × y لجميع أعمدة الجدول: إذا كان الناتج ثابتاً دائماً (مثلاً يساوي 24 دائماً) فالتغير عكسي وثابت التغير m = 24 والعلاقة y = 24 / x	نقومبحسابالنسبةلجميع
•	🧮 التطبيقات والمسائل النموذجية المحلولة بالخطوات (Step-by-Step Worked Examples)	التطبيقاتوالمسائلالنموذجيةالمحلولة
مثال نموذجي 1	مسألة نموذجية محلولة رقم 2 – التغير العكسي وإيجاد العلاقة والقيمة المجهولة	مسألةنموذجيةمحلولةالتغير
نص المسألة / السؤال	المعطيات: إذا كانت y تتغير عكسياً بتغير x وكانت y = 3 عندما x = 2.المطلوب: 1) أوجد العلاقة بين x و y. 2) احسب قيمة y عندما x = 1.5.الحل بالخطوات النموذجية:1) بما أن y تتغير عكسياً مع x:∴ y = m / x ⇒ m = x × y.بالتعويض عن x = 2 و y = 3:m = 2 × 3 = 6.إذن العلاقة بين المتغيرين هي: y = 6 / x (أو x y = 6).2) لحساب قيمة y عندما x = 1.5:بالتعويض في العلاقة:y = 6 / 1.5 = 4.(طريقة أخرى بديلة للتحقق: y1 / y2 = x2 / x1 ⇒ 3 / y2 = 1.5 / 2 ⇒ y2 = (3 × 2) / 1.5 = 6 / 1.5 = 4)	المعطياتكانتتتغيرعكسيا

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	مثال	كلمات مفتاحية
•	💡 أسرار وتكات التفوق وملاحظات خبير المادة (Expert Notes & Exam Secrets)	—	أسراروتكاتالتفوقوملاحظات
★ تكة امتحانية خطيرة		تغيراً طردياً لأنها تمر بالأصل. أما المعادلة y = 3x + 5 فلا تمثل تغيراً طردياً لوجود الحد الثابت 5	المعادلةتمثلتغيراطرديا
★ سر التناسب المتسلسل	إذا كانت a c في تناسب متسلسل فإن الوسط المتناسب b = ± √ac (لا تنس وضع إشارة ± إلا إذا ذكر في المسألة أن الأعداد موجبة)	—	كانتالوسطالمتناسبإشارة
★ مفتاح التغير العكسي	إذا كانت y – 1 / x = 0 ⇒ y = 1 / x فالتغير عكسي	—	كانتفالتغير
•	🌍 التطبيقات الحياتية والصناعية والتكنولوجية (Real-World Applications)	—	التطبيقاتالحياتيةوالصناعيةوالتكنولوجية
✔ قانون بويل للغازات في الفيزياء	حجم كمية معينة من الغاز يتغير عكسياً مع الضغط الواقع عليه عند ثبوت درجة الحرارة (P · V = constant)	—	كميةمعينةالغازيتغير

✔ السرعة والزمن في السفر←كلما زادت سرعة القطار أو الطائرة قل زمن الرحلة بنفس النسبة، وهو تطبيق عملي صريح على التغير العكسي.

الدرس 2 – النسبة والتناسب وخواص التناسب والتغير الطردي والتغير العكسي · 1 / 2